Bài tập các công thức xác suất
Bài 1. Từ một hộp đựng10 hạt đậu giống gồm 4 hạt đậu hoa vàng thuần chủng, 3 hạt đậu hoa vàng không thuần chủng và 3 hạt đậu hoa trắng, người ta chọn ngẫu nhiên ra 3 hạt đậu.
1) Tính xác suất để "3 hạt đậu được chọn gồm 3 loại khác nhau".
2) Tính xác suất để "3 hạt đậu được chọn là đậu cho hoa vàng".
3) Tính xác suất để "3 hạt đậu được chọn có ít nhất một hạt cho hoa màu trắng".
Đs: 1) 0, 3 2) 0, 2917 3) 0, 7083
Bài 2. Tại một vùng, tỷ lệ người dân nghiện hút thuốc lá là 20%, tỷ lệ người dân nghiện uống rượu là 14%, tỷ lệ người dân vừa nghiện hút thuốc vừa nghiện uống rượu là 9%.
1) Hãy tính tỷ lệ người dân nghiện hút thuốc nhưng không nghiện uống rượu.
2) Hãy tính tỷ lệ người dân không nghiện hút thuốc và không nghiện uống rượu.
3) Chọn ngẫu nhiên một người dân ở vùng này. Nếu biết rằng người đó nghiện hút thuốc thì xác suất người đó cũng nghiện uống rượu là bao nhiêu?
4) Chọn ngẫu nhiên một người dân ở vùng này. Nếu biết người đó nghiện uống rượu thì xác suất người đó không nghiện hút thuốc là bao nhiêu?
Đs: 1) 0, 11 2) 0, 75 3) 9/20 4) 5/14
Bài 3. Lai gà lông màu nâu với gà lông màu trắng, gà con ở thế hệ F1 có lông màu nâu, màu xám và màu trắng theo tỉ lệ 1: 2: 1. Chọn ngẫu nhiên 5 quả trứng gà ở thế hệ F1. Tính xác suất để:
1) Có đúng 3 gà con có lông màu nâu.
2) Có 2 gà có lông màu nâu và 3 gà có lông màu xám.
3) Có 1 gà có lông màu nâu, 2 gà có lông màu xám và 2 gà có lông màu trắng.
Đs: 1) 0, 0879 2) 0, 0781 3) 0, 1172
Bài 4. Ba sinh viên A, B, C cùng làm bài thi một cách độc lập. Xác suất làm được bài thi của sinh viên A, B, C tương ứng là 0, 6; 0, 7 và 0, 8.
1) Tính xác suất để "có đúng 1 sinh viên làm được bài".
2) Tính xác suất để "có ít nhất 1 sinh viên làm được bài".
3) Biết rằng có đúng 1 sinh viên làm được bài, tính xác suất để sinh viên C làm được bài.
Đs: 1) 0, 188 2) 0, 976 3) 0, 5106
Bài 5. Một nhóm xạ thủ có số xạ thủ loại A gấp ba số xạ thủ loại B. Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ loại A là 0, 9, của xạ thủ loại B là 0, 8. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ từ nhóm trên và yêu cầu bắn 3 viên đạn. Biết người đó bắn trúng 2 viên, tính xác suất đó là xạ thủ loại A.
Đs: 0, 7915
Bài 6. Một loại sản phẩm X được bán ra thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 35%, phân xưởng II chiếm 40% và phân xưởng III chiếm 25%.
Tỷ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là 80%, 60% và 90%.
1) Tính tỷ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất.
2) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường. Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Khi đó theo bạn, sản phẩm được mua do phân xưởng nào sản xuất là có khả năng nhất?
3) Chọn mua ngẫu nhiên 10 sản phẩm X ở thị trường. Tính xác suất để có đúng 7 sản phẩm loại A.
ĐS: 1) 0, 745 2) phân xưởng I 3) 0, 2535
Biến ngẫu nhiên
Bài 7. Một người chơi trò phi tiêu vào một tấm bia hình tròn được chia làm 5 phần bằng nhau, trên đó điền số điểm tương ứng từ 1 đến 5. Giả sử kết quả các lần phi tiêu là độc lập và lần nào cũng ném trúng bia.
1) Tính xác suất người đó ném một lần được 5 điểm.
2) Giả sử người đó phi tiêu hai lần liên tiếp. Hãy tính xác suất để:
A) Tổng số điểm là 8.
B) Hai lần có cùng số điểm.
C) Lần thứ hai có điểm số cao hơn lần thứ nhất.
3) Trong 5 lần phi tiêu, tính xác suất có 3 lần được 5 điểm.
4) Hỏi trong 80 lần phi tiêu:
A) Trung bình có bao nhiêu lần được 5 điểm?
B) Khả năng cao nhất có bao nhiêu lần được 5 điểm?
ĐS: 1) 0, 2 ; 2) a) 3/25, b) 1/5, c) 10/25; 3) 0, 0512 ; 4) a) 16, b) 16.
Bài 8. Từ một lồng gà gồm có 3 gà trống và 5 gà mái người ta bắt ngẫu nhiên 3 con gà.
1) Gọi X là số con gà mái trong số 3 con gà bắt ra. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E (x), d (x).
2) Lập hàm phân phối xác suất của X.
Bài 9. Khi lai đậu hoa đỏ thuần chủng với đậu hoa trắng thuần chủng, ở thế hệ F1 các cây đậu đều có hoa màu đỏ; ở thế hệ F2 các cây đậu có hoa màu đỏ và màu trắng theo tỷ lệ 3: 1.
Chọn ngẫu nhiên 4 cây đậu ở thế hệ F2. Gọi X là số cây đậu có hoa màu đỏ trong 4 cây trên.
1) Lập bảng phân phối xác suất của X.
2) Tính E (X), D (X).
Bài 10. Trong hộp đựng hạt giống hoa có 6 hạt cho hoa đỏ và 2 hạt cho hoa vàng. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt cho hoa đỏ và mỗi hạt cho hoa vàng lần lượt là 0, 6 và 0, 7. Lấy ngẫu nhiên 2 hạt trong hộp.
1) Tính xác suất để lấy được ít nhất một hạt cho hoa màu đỏ.
2) Gọi X là số hạt giống cho hoa đỏ trong 2 hạt lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X.
3) Đem gieo 2 hạt trên, tính xác suất để có đúng một hạt nảy mầm.
Đs: 1) 27/28 2) 3) 0, 4693
Bài 11. Có hai thùng đựng táo: Thùng thứ nhất có 6 quả tốt và 4 quả hỏng, thùng thứ hai có 5 quả tốt và 3 quả hỏng. Một người lấy ngẫu nhiên từ mỗi thùng một quả.
1) Tính xác suất để trong hai quả lấy được có ít nhất một quả tốt.
2) Gọi X là số quả tốt lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của X.
3) Một người đến sau tiếp tục lấy ngẫu nhiên 2 quả từ thùng thứ nhất. Tính xác suất để người đó
Lấy được 2 quả tốt.
Đs: 1) 17/20 2) 3) 0, 3333
Bài 12. Có 3 hộp đựng bút: Hộp thứ nhất có 5 bút đỏ và 10 bút xanh, hộp thứ hai có 3 bút đỏ và 7 bút Xanh, hộp thứ ba có 4 bút đỏ và 3 bút xanh. Từ hộp thứ nhất lấy ra 1 bút, từ hộp thứ hai lấy ra 2 bút rồi bỏ cả ba bút vừa lấy ra vào hộp thứ ba.
1) Tính xác suất để 3 bút lấy ra cùng màu đỏ.
2) Tính xác suất để trong hộp thứ ba số bút đỏ nhiều hơn số bút xanh.
3) Gọi X là số bút đỏ trong 3 bút lấy ra. Tính E x (), d x ().
Đs: 1) 0, 0222 2) 0, 2222 3) e (x) =0, 9333; d (x) = 0, 5956
Bài 13. Một người có một chùm chìa khóa gồm 4 chìa trong đó chỉ có 2 chìa mở được khóa. Người đó mở khóa bằng cách thử lần lượt từng chìa cho đến khi mở được khóa; nếu thử chìa nào không mở được thì loại chìa đó ra khỏi chùm. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thử của người đó.
1) Lập bảng và hàm phân phối xác suất của X.
2) Trung bình thì người đó phải thử bao nhiêu lần?
Đs: 1) 2) 1, 6667
Bài 14. Hai phòng thí nghiệm được giao mỗi phòng làm 2 thí nghiệm độc lập. Xác suất thành công trong từng thí nghiệm của phòng thứ nhất là 0, 85 và của phòng thứ hai là 0, 8. Phòng nào thành công ít nhất một thí nghiệm được coi là hoàn thành nhiệm vụ, phòng nào thành công cả 2 thí nhiệm được xếp loại xuất sắc. Giả sử hai phòng làm việc độc lập.
1) Gọi X là số thí nghiệm thành công của phòng thứ nhất. Tính kỳ vọng và phương sai của X.
2) Tính xác suất để cả hai phòng cùng hoàn thành nhiệm vụ.
3) Tính xác suất để có đúng một phòng được xếp loại xuất sắc.
Đs: 1) e (x) =1, 7; d (x) =0, 255 2) 0, 9384 3) 0, 4377
Bài 15. Lợi nhuận X (đơn vị: Triệu đồng) thu được khi đầu tư 500 triệu đồng vào một dự án có bảng phân phối xác suất như sau
| x | -30 | -15 | 0 | 10 | 20 | 30 |
|---|
| p | 0, 1 | 0, 15 | 0, 2 | 0, 2 | 0, 25 | 0, 1 |
1) Tìm mức lợi nhuận có khả năng nhiều nhất khi đầu tư vào dự án đó.
2) Tính xác suất của sự kiện "khi đầu tư 500 triệu đồng vào dự án đó thì không bị lỗ"
3) Việc đầu tư vào dự án này có hiệu quả không? Vì sao?
4) Coi phương sai của X đặc trưng cho mức độ rủi ro, hãy tính mức độ rủi ro khi đầu tư vào dự án trên.
ĐS: 1) 20 2) 0, 75 3) Có vì E (X) >0 4) D (X) =311, 1875
Bài 16. Một lớp có 64 sinh viên, mỗi bạn phải đến dự một trong 2 ca học phụ đạo môn Toán với khả năng như nhau. Phòng học có 44 chỗ ngồi.
1) Gọi X là số sinh viên đi đến ca học thứ nhất. X là biến rời rạc hay liên tục? X tuân theo quy luật phân phối xác suất nào? Có thể coi rằng X có phân phối xấp xỉ chuẩn không?
2) Để mọi sinh viên đều có đủ chỗ ngồi (trong cả 2 ca) thì X phải thỏa mãn điều kiện gì?
3) Tính xác suất của sự kiện "mọi sinh viên đều có đủ chỗ ngồi".
Đs: 1)
X b (64;0, 5)
Có. 2)
20 44 x
3) 0, 9974
Bài 17. Mỗi người dự sơ tuyển vận động viên bắn súng được phát 5 viên đạn để bắn từng viên một. Nếu có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu thì được coi là qua vòng sơ tuyển. Giả sử xác suất để mỗi viên đạn bắn trúng mục tiêu của mọi người dự tuyển đều là 0, 6 và các lần bắn là độc lập nhau.
1) Có một người dự vòng sơ tuyển. Tính xác suất để người dự tuyển qua vòng sơ tuyển.
2) Nếu có 100 người dự vòng sơ tuyển thì khả năng nhất có bao nhiêu người sẽ vượt qua vòng sơ tuyển.
3) Có người 120 người dự vòng sơ tuyển. Tìm số nguyên K lớn nhất để sự kiện: "Số người dự tuyển qua vòng sơ tuyển không ít hơn K người" có xác suất không nhỏ hơn 0, 95.
ĐS: 1) 0, 6826 2) 68 3) k = 73
Bài 19. Sản lượng x, y, z (tấn/ha) của ba giống lúa A, B, C tương ứng là các biến ngẫu nhiên có phân
Phối chuẩn:
2 x n (8;0, 6)
;
2 y n (7;0, 6)
;
2 z n (8;0, 5).
1) Nếu cần chọn một giống để trồng thì nên chọn giống nào? Tại sao?
2) Tính xác suất để một thửa ruộng trồng giống lúa C có năng suất lớn 7, 5 tấn/ha.
3) Có 15 thửa ruộng được trồng giống lúa C. Tính xác suất của sự kiện: "Có 13 thửa cho năng suất lớn hơn 7, 5 tấn/ha".
Đs: 1) c 2) 0, 8413 3) 0, 2797
Bài 20. Giả sử chiều cao của cây bạch đàn trong khu rừng trồng bạch đàn sau 5 năm trồng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 7 m và độ lệch chuẩn là 1, 5 m. Chọn ngẫu nhiên một cây và đo chiều cao cây đó.
1) Tính xác suất để cây chọn được có chiều cao nhỏ hơn 8, 5 m.
2) Chọn ngẫu nhiên 100 cây và đo chiều cao. Tính xác suất để có không quá 90 cây có chiều cao nhỏ hơn 8, 5 m. Nhiều khả năng nhất có bao nhiêu cây có chiều cao nhỏ hơn 8, 5 m trong 100 cây được chọn?
3) Tìm chiều cao T (m) tối thiểu sao cho tỉ lệ cây có chiều cao lớn hơn T không quá 1%
ĐS: 1) 0, 8413 2) 0, 9463; 84 cây 3) 10, 495 m
Bài 21. Đường kính một loại trục máy là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 1, 2cm và độ lệch chuẩn 0, 01cm. Trục loại I là trục có đường kính sai lệch so với trung bình không quá 0, 02cm, còn lại là trục loại II.
1) Tính tỷ lệ trục loại I, loại II.
2) Một doanh nghiệp mua loại trục máy này với giá 30 000 đồng/trục và bán với giá 40 000 đ/trục đối với trục loại I; 25 000 đồng/trục đối với trục loại II. Tính tiền lời trung bình doanh nghiệp này thu được khi bán 1 trục máy.
Đs: 1) 0, 9544; 0, 0456; 2) 9316
Bài 22. Một gia đình trồng một loại quả có 2 giống A và B, đến vụ thu hoạch số lượng quả 2 loại như nhau. Trọng lượng quả giống A có phân phối chuẩn với trung bình 2, 5kg, độ lệch chuẩn 1kg; trọng lượng quả giống B có phân phối chuẩn với trung bình 3kg, độ lệch chuẩn 0, 8kg (trọng lượng 2 loại ủa độc lập). Công ty rau quả chỉ đồng ý mua cho gia đình những quả có trọng lượng từ 2kg trở lên.
1) Tính tỉ lệ quả không đủ tiêu chuẩn để được mua.
2) Lấy ngẫu nhiên 1 quả giống A 1 quả giống B tính xác suất quả giống B nhẹ hơn quả giống A (biết rằng nếu X~ (;), 2 n x x y~ (;)
2 n y y
Thì
X y~ (;)) 2 2 n x y x y
Đs: 1) 0, 20705 2) 0, 3897
Bài 23. Xác suất của một loại hạt giống nảy mầm sau khi gieo là 0, 8.
1) Gọi x là số hạt nảy mầm khi gieo 5 hạt. Tính P (x 4).
2) Gọi y là số hạt nảy mầm khi gieo 100 hạt. Tính P y (). 85
3) Phải gieo ít nhất bao nhiêu hạt để với xác suất không nhỏ hơn 0, 9972 có thể tin rằng có ít nhất 1 hạt nảy mầm.
4) Phải gieo ít nhất bao nhiêu hạt để với xác suất không nhỏ hơn 0, 9772 có thể tin rằng có trên 100 hạt nảy mầm.
Đs: 1) 0, 73728 2) 0, 1056 3) 17 4) 137
Bài 24. Số khách vào một cửa hàng bách hóa trong một giờ là biến ngẫu nhiên với phân phối Poisson với mật độ (số khách trung bình) là 8 khách hàng trong một giờ. Tìm xác suất để trong một giờ nào đó có hơn 4 khách vào.
Đs: 0, 9
Bài 25. Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất để mỗi chai bị vỡ khi vận chuyển là 0, 004. Tìm xác suất để sau khi vận chuyển 1000 chai rượu thì có 5 chai rượu bị vỡ.
Đs: 0, 1562
1676
103
