-
★
31
0
Chào các bạn thành viên diễn đàn Box Học Online!
Kỳ thi Tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2026 đang đến rất gần. Lứa học sinh thi năm 2026 là thế hệ thứ hai tiếp cận hoàn toàn với định dạng đề thi mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018. Cấu trúc đề thi môn Toán giờ đây không chỉ đơn thuần là các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 4 lựa chọn như trước, mà còn bổ sung thêm phần trắc nghiệm đúng sai và trắc nghiệm trả lời ngắn.
Việc làm quen với cấu trúc này, đồng thời rèn luyện khả năng tư duy, giải quyết vấn đề toán học gắn liền với thực tiễn là vô cùng quan trọng để đạt điểm số tối đa. Nhằm giúp các sĩ tử có thêm nguồn tài liệu ôn tập chất lượng, mình đã tự biên soạn và tổng hợp một đề thi thử môn Toán bám sát ma trận đề minh họa năm 2026. Đề thi bao gồm các câu hỏi phân hóa từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng cao, kèm theo đó là đáp án và lời giải chi tiết do chính mình thực hiện. Hy vọng bài viết này sẽ là hành trang bổ ích giúp các bạn tự tin bước vào phòng thi!
Phần i: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn
(Gồm các câu hỏi có 4 phương án A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0, 25 điểm) *
Câu 1: Cho hàm số $y = f (x) $ liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f' (x) = x (x - 1) ^2 (x + 2) $. Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x) $ là bao nhiêu?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải chi tiết:
Đáp án đúng: B
Ta xét phương trình đạo hàm bằng 0: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x (x - 1) ^2 (x + 2) = 0$.
Phương trình này có các nghiệm là $x = 0$, $x = 1$ và $x = -2$.
Tuy nhiên, điểm cực trị của hàm số chỉ sinh ra tại những điểm mà đạo hàm $f' (x) $ đổi dấu khi đi qua nó.
Tại $x = 1$, nghiệm này là nghiệm bội chẵn (bậc 2), do đó $f' (x) $ không đổi dấu.
Tại $x = 0$ và $x = -2$, đây là các nghiệm bội lẻ (bậc 1), do đó $f' (x) $ đổi dấu.
Vậy hàm số $y = f (x) $ có chính xác 2 điểm cực trị.
Câu 2: Thể tích của một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao bằng $h$ được tính bằng công thức nào dưới đây?
A. $V = \frac{1}{3}Bh$
B. $V = Bh$
C. $V = 3Bh$
D. $V = \frac{1}{2}Bh$
Lời giải chi tiết:
Đáp án đúng: B
Theo kiến thức hình học không gian cơ bản, thể tích khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao: $V = Bh$. Cần phân biệt rõ với công thức tính thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}Bh$.
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình $ (S) : X^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0$. Bán kính của mặt cầu $ (S) $ là:
A. 4
B. 16
C. 2
D. 8
Lời giải chi tiết:
Đáp án đúng: A
Phương trình mặt lầu dạng khai triển là $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.
Từ phương trình đã cho, ta xác định được: $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$ và $d = -2$.
Bán kính của mặt cầu được tính theo công thức: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Thay số vào ta có: $R = \sqrt{1^2 + (-2) ^2 + 3^2 - (-2) } = \sqrt{1 + 4 + 9 + 2} = \sqrt{16} = 4$.
-
Phần ii: Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai
(Thí sinh xét tính đúng/sai từ ý a đến ý d. Điểm số phụ thuộc vào số lượng ý trả lời chính xác trong một câu).
Câu 4: Một công ty tung ra thị trường một dòng sản phẩm điện tử mới. Sự tăng trưởng doanh số bán hàng $S (t) $ (đơn vị: Nghìn sản phẩm) sau $t$ tháng được mô hình hóa bởi hàm số $S (t) = \frac{50t}{t + 2}$ với $t \ge 0$.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
A) Tại thời điểm ban đầu (tháng thứ 0), doanh số bán hàng là 0.
B) Doanh số bán hàng luôn tăng trong suốt quá trình tung sản phẩm ra thị trường.
CTốc độ tăng trưởng doanh số bán hàng ở tháng thứ 3 là 4 nghìn sản phẩm/tháng.
D) Doanh số bán hàng của công ty có thể vượt mức 55 nghìn sản phẩm nếu thời gian đủ dài.
Lời giải chi tiết:
A) ĐÚNG: Thay $t = 0$ vào hàm số ta có $S (0) = \frac{50 \cdot 0}{0 + 2} = 0$.
B) ĐÚNG; Ta tính đạo hàm của hàm số để xét tính đơn điệu: $S' (t) = \frac{50 (t + 2) - 50t}{ (t + 2) ^2} = \frac{100}{ (t + 2) ^2}$. Vì $100 > 0$ và $ (t + 2) ^2 > 0$ với mọi $t \ge 0$, nên $S' (t) > 0$. Hàm số luôn đồng biến.
C) ĐÚNG: Tốc độ tăng trưởng chính là đạo hàm của hàm doanh số. Tại tháng thứ 3, tốc độ này là: $S' (3) = \frac{100}{ (3 + 2) ^2} = \frac{100}{25} = 4$ (nghìn sản phẩm mỗi tháng).
* **d) SAI: Ta xét giới hạn của hàm số khi thời gian tiến ra vô cực: $\lim_{t \to +\infty} S (t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{50t}{t + 2} = 50$. Như vậy, doanh số tối đa chỉ có thể tiệm cận mức 50 nghìn sản phẩm, không thể đạt hay vượt qua 55 nghìn.
- -
Phần iii: Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
(Thí sinh chỉ cần điền kết quả cuối cùng vào bài thi, phần tự luận nháp bên ngoài) *
Câu 5: Một nhà máy sản xuất cần làm những chiếc hộp hình trụ không nắp để đựng hóa chất. Thể tích yêu cầu thiết kế của mỗi chiếc hộp là 1000 cm³. Để tiết kiệm tối đa chi phí vật liệu nhất, nhà máy cần thiết kế bán kính đáy của hộp hình trụ là bao nhiêu centimet? (Yêu cầu làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải chi tiết:
Kết quả cần điền: 6, 83
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hộp hình trụ lần lượt là $r$ và $h$ ($r > 0$, $h > 0$).
Thể tích khối trụ: $V = \pi r^2h = 1000 \Rightarrow h = \frac{1000}{\pi r^2}$.
Diện tích toàn phần của hộp hình trụ không nắp (chỉ gồm diện tích xung quanh và 1 mặt đáy) chính là lượng vật liệu cần dùng:
$S = S_{xq} + S_{day} = 2\pi rh + \pi r^2$.
Thay biến $h$ vào biểu thức diện tích, ta được hàm số theo biến $r$:
$S (r) = 2\pi r \left (\frac{1000}{\pi r^2} \right) + \pi r^2 = \frac{2000}{r} + \pi r^2$.
Để chi phí vật liệu thấp nhất, $S (r) $ phải đạt giá trị nhỏ nhất. Lấy đạo hàm:
$S' (r) = -\frac{2000}{r^2} + 2\pi r$.
Cho $S' (r) = 0 \Leftrightarrow 2\pi r = \frac{2000}{r^2} \Leftrightarrow r^3 = \frac{1000}{\pi} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} \approx 6, 83\text{ cm}$.
Cần đăng nhập và nhấn Thích hoặc Trả lời để xem đoạn này
Câu 6 (Câu hỏi thực tế vận dụng cao không gian $Oxyz$) :
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một vệ tinh nhân tạo đang di chuyển trên quỹ đạo thẳng có phương trình đường thẳng là $\Delta: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$. Một trạm phát sóng điều khiển trên mặt đất được đặt tại vị trí điểm $M (2; 1; -1) $. Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ trạm phát sóng đến vệ tinh nhân tạo trong quá trình nó di chuyển trên quỹ đạo. (Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).
Lời giải chi tiết:
Kết quả cần điền: 3, 5
Bản chất bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A (1; -1; 2) $ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -1; 1) $.
Ta có vectơ $\vec{AM} = (1; 2; -3) $.
Tích có hướng của $\vec{AM}$ và $\vec{u}$:
$[\vec{AM}, \vec{u}] = \left (\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \right) = (-1; -7; -5) $.
Độ dài của vectơ tích có hướng:
$
[\vec{AM}, \vec{u}]
= \sqrt{ (-1) ^2 + (-7) ^2 + (-5) ^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
Độ dài vectơ chỉ phương $\vec{u}$:
$
\vec{u}
= \sqrt{2^2 + (-1) ^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d (M, \Delta) = \frac{
[\vec{AM}, \vec{u}]
}{
\vec{u}
} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3, 535$.
Làm tròn đến 1 chữ số thập phân ta được kết quả là 3, 5.
Kỳ thi Tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2026 đang đến rất gần. Lứa học sinh thi năm 2026 là thế hệ thứ hai tiếp cận hoàn toàn với định dạng đề thi mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018. Cấu trúc đề thi môn Toán giờ đây không chỉ đơn thuần là các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 4 lựa chọn như trước, mà còn bổ sung thêm phần trắc nghiệm đúng sai và trắc nghiệm trả lời ngắn.
Việc làm quen với cấu trúc này, đồng thời rèn luyện khả năng tư duy, giải quyết vấn đề toán học gắn liền với thực tiễn là vô cùng quan trọng để đạt điểm số tối đa. Nhằm giúp các sĩ tử có thêm nguồn tài liệu ôn tập chất lượng, mình đã tự biên soạn và tổng hợp một đề thi thử môn Toán bám sát ma trận đề minh họa năm 2026. Đề thi bao gồm các câu hỏi phân hóa từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng cao, kèm theo đó là đáp án và lời giải chi tiết do chính mình thực hiện. Hy vọng bài viết này sẽ là hành trang bổ ích giúp các bạn tự tin bước vào phòng thi!
Phần i: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn
(Gồm các câu hỏi có 4 phương án A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0, 25 điểm) *
Câu 1: Cho hàm số $y = f (x) $ liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f' (x) = x (x - 1) ^2 (x + 2) $. Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x) $ là bao nhiêu?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải chi tiết:
Đáp án đúng: B
Ta xét phương trình đạo hàm bằng 0: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x (x - 1) ^2 (x + 2) = 0$.
Phương trình này có các nghiệm là $x = 0$, $x = 1$ và $x = -2$.
Tuy nhiên, điểm cực trị của hàm số chỉ sinh ra tại những điểm mà đạo hàm $f' (x) $ đổi dấu khi đi qua nó.
Tại $x = 1$, nghiệm này là nghiệm bội chẵn (bậc 2), do đó $f' (x) $ không đổi dấu.
Tại $x = 0$ và $x = -2$, đây là các nghiệm bội lẻ (bậc 1), do đó $f' (x) $ đổi dấu.
Vậy hàm số $y = f (x) $ có chính xác 2 điểm cực trị.
Câu 2: Thể tích của một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao bằng $h$ được tính bằng công thức nào dưới đây?
A. $V = \frac{1}{3}Bh$
B. $V = Bh$
C. $V = 3Bh$
D. $V = \frac{1}{2}Bh$
Lời giải chi tiết:
Đáp án đúng: B
Theo kiến thức hình học không gian cơ bản, thể tích khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao: $V = Bh$. Cần phân biệt rõ với công thức tính thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}Bh$.
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình $ (S) : X^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0$. Bán kính của mặt cầu $ (S) $ là:
A. 4
B. 16
C. 2
D. 8
Lời giải chi tiết:
Đáp án đúng: A
Phương trình mặt lầu dạng khai triển là $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.
Từ phương trình đã cho, ta xác định được: $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$ và $d = -2$.
Bán kính của mặt cầu được tính theo công thức: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Thay số vào ta có: $R = \sqrt{1^2 + (-2) ^2 + 3^2 - (-2) } = \sqrt{1 + 4 + 9 + 2} = \sqrt{16} = 4$.
-
Phần ii: Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai
(Thí sinh xét tính đúng/sai từ ý a đến ý d. Điểm số phụ thuộc vào số lượng ý trả lời chính xác trong một câu).
Câu 4: Một công ty tung ra thị trường một dòng sản phẩm điện tử mới. Sự tăng trưởng doanh số bán hàng $S (t) $ (đơn vị: Nghìn sản phẩm) sau $t$ tháng được mô hình hóa bởi hàm số $S (t) = \frac{50t}{t + 2}$ với $t \ge 0$.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
A) Tại thời điểm ban đầu (tháng thứ 0), doanh số bán hàng là 0.
B) Doanh số bán hàng luôn tăng trong suốt quá trình tung sản phẩm ra thị trường.
CTốc độ tăng trưởng doanh số bán hàng ở tháng thứ 3 là 4 nghìn sản phẩm/tháng.
D) Doanh số bán hàng của công ty có thể vượt mức 55 nghìn sản phẩm nếu thời gian đủ dài.
Lời giải chi tiết:
A) ĐÚNG: Thay $t = 0$ vào hàm số ta có $S (0) = \frac{50 \cdot 0}{0 + 2} = 0$.
B) ĐÚNG; Ta tính đạo hàm của hàm số để xét tính đơn điệu: $S' (t) = \frac{50 (t + 2) - 50t}{ (t + 2) ^2} = \frac{100}{ (t + 2) ^2}$. Vì $100 > 0$ và $ (t + 2) ^2 > 0$ với mọi $t \ge 0$, nên $S' (t) > 0$. Hàm số luôn đồng biến.
C) ĐÚNG: Tốc độ tăng trưởng chính là đạo hàm của hàm doanh số. Tại tháng thứ 3, tốc độ này là: $S' (3) = \frac{100}{ (3 + 2) ^2} = \frac{100}{25} = 4$ (nghìn sản phẩm mỗi tháng).
* **d) SAI: Ta xét giới hạn của hàm số khi thời gian tiến ra vô cực: $\lim_{t \to +\infty} S (t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{50t}{t + 2} = 50$. Như vậy, doanh số tối đa chỉ có thể tiệm cận mức 50 nghìn sản phẩm, không thể đạt hay vượt qua 55 nghìn.
- -
Phần iii: Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
(Thí sinh chỉ cần điền kết quả cuối cùng vào bài thi, phần tự luận nháp bên ngoài) *
Câu 5: Một nhà máy sản xuất cần làm những chiếc hộp hình trụ không nắp để đựng hóa chất. Thể tích yêu cầu thiết kế của mỗi chiếc hộp là 1000 cm³. Để tiết kiệm tối đa chi phí vật liệu nhất, nhà máy cần thiết kế bán kính đáy của hộp hình trụ là bao nhiêu centimet? (Yêu cầu làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải chi tiết:
Kết quả cần điền: 6, 83
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hộp hình trụ lần lượt là $r$ và $h$ ($r > 0$, $h > 0$).
Thể tích khối trụ: $V = \pi r^2h = 1000 \Rightarrow h = \frac{1000}{\pi r^2}$.
Diện tích toàn phần của hộp hình trụ không nắp (chỉ gồm diện tích xung quanh và 1 mặt đáy) chính là lượng vật liệu cần dùng:
$S = S_{xq} + S_{day} = 2\pi rh + \pi r^2$.
Thay biến $h$ vào biểu thức diện tích, ta được hàm số theo biến $r$:
$S (r) = 2\pi r \left (\frac{1000}{\pi r^2} \right) + \pi r^2 = \frac{2000}{r} + \pi r^2$.
Để chi phí vật liệu thấp nhất, $S (r) $ phải đạt giá trị nhỏ nhất. Lấy đạo hàm:
$S' (r) = -\frac{2000}{r^2} + 2\pi r$.
Cho $S' (r) = 0 \Leftrightarrow 2\pi r = \frac{2000}{r^2} \Leftrightarrow r^3 = \frac{1000}{\pi} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} \approx 6, 83\text{ cm}$.
Cần đăng nhập và nhấn Thích hoặc Trả lời để xem đoạn này
Câu 6 (Câu hỏi thực tế vận dụng cao không gian $Oxyz$) :
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một vệ tinh nhân tạo đang di chuyển trên quỹ đạo thẳng có phương trình đường thẳng là $\Delta: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$. Một trạm phát sóng điều khiển trên mặt đất được đặt tại vị trí điểm $M (2; 1; -1) $. Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ trạm phát sóng đến vệ tinh nhân tạo trong quá trình nó di chuyển trên quỹ đạo. (Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).
Lời giải chi tiết:
Kết quả cần điền: 3, 5
Bản chất bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A (1; -1; 2) $ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -1; 1) $.
Ta có vectơ $\vec{AM} = (1; 2; -3) $.
Tích có hướng của $\vec{AM}$ và $\vec{u}$:
$[\vec{AM}, \vec{u}] = \left (\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \right) = (-1; -7; -5) $.
Độ dài của vectơ tích có hướng:
$
[\vec{AM}, \vec{u}]
= \sqrt{ (-1) ^2 + (-7) ^2 + (-5) ^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
Độ dài vectơ chỉ phương $\vec{u}$:
$
\vec{u}
= \sqrt{2^2 + (-1) ^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d (M, \Delta) = \frac{
[\vec{AM}, \vec{u}]
}{
\vec{u}
} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3, 535$.
Làm tròn đến 1 chữ số thập phân ta được kết quả là 3, 5.
