[LacTuyetHy]

Bài 1 (4, 0 điểm) Xe I xuất phát từ A đi đến B, trên nửa đoạn đường đầu đi với tốc độ không đổi v1, nửa đoạn đường sau với tốc độ không đổi v2. Xe II xuất phát từ B đi về A, trong nửa thời gian đầu đi với tốc độ không đổi v1, nửa thời gian sau đi với tốc độ không đổi v2. Biết v1=20km/h và v2 =60 km/h. Nếu xe II xuất phát muộn hơn 30 phút so với xe I, thì xe II đến A và xe 1 đến B cùng một lúc.

A) Tính tốc độ trung bình của mỗi xe trên đoạn đường AB.

B) Nếu hai xe xuất phát cùng lúc thì chúng sẽ gặp nhau tại vị trí cách A một khoảng bảng bao nhiêu?

Cách giải của mình​

Bài làm chỉ mang tính chất tham khảo thôi nhé.

Cách giải chi tiết​

Gọi độ dài quãng đường AB là L (km).

A) Tính tốc độ trung bình của mỗi xe trên đoạn AB

Xe I:

Nửa đoạn đầu đi với v1, nửa sau với v2, nên:

Thời gian xe I đi từ A đến B:

T₁ = (L/2) / v1 + (L/2) / v2

= L/2 · (1/v1 + 1/v2)

Tốc độ trung bình của xe I:

V̄₁ = L / t₁

= l / [L/2 · (1/v1 + 1/v2) ]

= 2 / (1/v1 + 1/v2)

= 2v1v2 / (v1 + v2)

Thay số v1 = 20 km/h, v2 = 60 km/h:

V̄₁ = 2·20·60 / (20 + 60) = 2400 / 80 = 30 km/h

Xe II:

Đi nửa thời gian đầu với v1, nửa thời gian sau với v2. Gọi tổng thời gian đi từ B đến A là t₂.

Quãng đường đi được:

S = v1· (t₂/2) + v2· (t₂/2) = t₂· (v1 + v2) /2

Tốc độ trung bình:

V̄₂ = S / t₂ = (v1 + v2) /2

Thay số:

V̄₂ = (20 + 60) /2 = 80/2 = 40 km/h

Kết luận câu A:

Tốc độ trung bình xe I: 30 km/h

Tốc độ trung bình xe II: 40 km/h

B) Nếu hai xe xuất phát cùng lúc thì chúng gặp nhau cách A bao nhiêu?

Ta phải dùng thêm dữ kiện "xe II xuất phát muộn 30 phút mà vẫn đến A cùng lúc với xe I đến B" để tìm độ dài AB.

Như đã có:

T₁ = thời gian xe I đi từ A đến B

T₂ = thời gian xe II đi từ B đến A

Ở trên ta đã có công thức tổng quát:

Xe I:

T₁ = L/2 · (1/v1 + 1/v2)

= L/2 · (v1 + v2) / (v1v2)

Xe II:

L = t₂ · (v1 + v2) /2

⇒ t₂ = 2L / (v1 + v2)

Theo đề: Xe II xuất phát muộn 0, 5 h (30 phút) nhưng đến nơi cùng lúc:

T₂ = t₁ − 0, 5

Thay số v1 = 20, v2 = 60:

T₁ = L/2 · (20 + 60) / (20·60)

= l/2 · 80/1200

= l · 80 / 2400

= l/30

T₂ = 2L / (20 + 60) = 2L/80 = L/40

Điều kiện t₂ = t₁ − 0, 5:

L/40 = l/30 − 0, 5

Đưa về một vế:

L/40 − l/30 = −0, 5

L· (1/40 − 1/30) = −0, 5

1/40 − 1/30 = (3 − 4) /120 = −1/120

Nên:

L· (−1/120) = −0, 5

⇒ l/120 = 0, 5

⇒ L = 60 km

Vậy AB = 60 km.

Bây giờ xét trường hợp hai xe xuất phát cùng lúc (vẫn giữ quy luật chuyển động như cũ) :

Xe I:

Nửa đường đầu (30 km) đi với v1 = 20 km/h:

Thời gian đi nửa đầu: T_A1 = 30/20 = 1, 5 h

Sau đó mới đổi sang v2.

Xe II:

Tổng thời gian đi từ B đến A là t₂ (vẫn như trên, vì đường và quy luật không đổi) :

T₂ = L/40 = 60/40 = 1, 5 h

Nửa thời gian đầu (0, 75 h) đi với v1, nửa sau (0, 75 h) với v2.

Ta chia theo từng khoảng thời gian kể từ lúc xuất phát:

Khoảng 0 → 0, 75 h:

Xe I: X₁ = 20t

Xe II: X₂ = 60 − 20t

Giải 20t = 60 − 20t ⇒ t = 1, 5 h (không thuộc khoảng 0 → 0, 75), nên chưa gặp.

Khoảng 0, 75 → 1, 5 h:

Xe I vẫn chạy v1 = 20 km/h, nên:

X₁ = 20t

Xe II từ t = 0, 75 h trở đi chạy với v2 = 60 km/h.

Tại t = 0, 75 h, xe II đã đi được: S = 20·0, 75 = 15 km, còn cách A 45 km, nên vị trí lúc t = 0, 75 h là x = 45 km.

Sau đó:

X₂ (t) = 45 − 60· (t − 0, 75)

= 45 − 60t + 45

= 90 − 60t

Cho x₁ = x₂:

20t = 90 − 60t

80t = 90

T = 90/80 = 1, 125 h

Vị trí gặp nhau tính từ A:

X = x₁ = 20·1, 125 = 22, 5 km

Kết luận câu B:

Hai xe xuất phát cùng lúc sẽ gặp nhau tại điểm cách A 22, 5 km (và cách B 37, 5 km).

 

[LacTuyetHy]

Khoảng cách từ nhà đến trường 12 km. Tan trường bố đón con đi với một chú chó. Vận tốc của con là v1 = 2 km/h, của bố là v2 = 4 km/h và của chó như sau: Lúc chạy lại gặp con v3 = 8 km/h, sau khi gặp con thì chạy lại gặp bố với vận tốc v4 = 12 km/h và cứ tiếp tục cho đến khi ba bố con gặp nhau.

A) Tính thời gian để hai bố con gặp nhau.

B) Tính quãng đường mà chó chạy được.

Tham khảo cách giải:

Lời giải chi tiết​

Ta ký hiệu:

Quãng đường từ nhà đến trường: S = 12 km

Vận tốc: Con v1 = 2 km/h, bố v2 = 4 km/h

Chó:

– Khi chạy từ bố đến con: V3 = 8 km/h

– Khi chạy từ con về bố: V4 = 12 km/h

A) Thời gian để hai bố con gặp nhau

Bố đi từ nhà đến trường, con đi từ trường về nhà. Hai người chuyển động ngược chiều nhau.

Vận tốc tương đối của hai bố con:

V = v1 + v2 = 2 + 4 = 6 km/h

Thời gian gặp nhau:

T = s / v = 12 / 6 = 2 giờ

Vậy sau 2 giờ kể từ lúc bố (và chó) bắt đầu đi từ nhà, bố và con gặp nhau trên đường.

Đáp án A: 2 giờ.

B) Quãng đường chó chạy được

Ý tưởng:

Con chó luôn chạy qua lại giữa bố và con cho đến khi hai bố con gặp nhau (t = 2 giờ).

Nhưng vì chó có 2 vận tốc khác nhau (8 km/h khi chạy về phía con, 12 km/h khi chạy về phía bố) nên ta phải tách thời gian nó chạy với từng vận tốc rồi mới tính tổng quãng đường.

Cách làm "xịn" :

Gọi D là khoảng cách giữa bố và con tại một thời điểm bất kỳ. Ban đầu D₀ = 12 km.

Mỗi lần chó chạy từ bố đến con hoặc từ con về bố, khoảng cách D sẽ giảm đi theo một tỉ lệ cố định. Ta lợi dụng điều này để lập cấp số nhân.

Bước 1: Xét một chặng chó chạy từ bố đến con (bố–>con)

Giả sử lúc bắt đầu chặng này, bố và con đang cách nhau D km.

Chó chạy từ bố đến con với vận tốc 8 km/h.

Con đi ngược lại với 2 km/h.

Vận tốc "xích lại gần nhau" của chó và con:

V_gần = 8 + 2 = 10 km/h

Thời gian chặng này:

Δt₁ = D / 10

Trong thời gian đó, bố và con vẫn tiến lại gần nhau với vận tốc tương đối 6 km/h, nên khoảng cách D sau chặng này giảm đi:

Giảm: 6·Δt₁ = 6· (D/10) = 3D/5

Khoảng cách mới:

D' = d − 3d/5 = 2d/5

Nghĩa là:

Sau mỗi lần chó chạy từ bố đến con, khoảng cách bố–con nhân với 2/5.

Bước 2: Xét một chặng chó chạy từ con về bố (con–>bố)

Giả sử khi bắt đầu chặng này, khoảng cách bố–con là D km.

Chó chạy về phía bố với 12 km/h, bố đi tới với 4 km/h.

Vận tốc "xích lại gần nhau" của bố và chó:

V_gần = 12 + 4 = 16 km/h

Thời gian chặng này:

Δt₂ = D / 16

Trong thời gian đó, bố và con vẫn tiến lại gần nhau với vận tốc 6 km/h, nên khoảng cách D giảm:

Giảm: 6·Δt₂ = 6· (D/16) = 3D/8

Khoảng cách mới:

D' = d − 3d/8 = 5d/8

Nghĩa là:

Sau mỗi lần chó chạy từ con về bố, khoảng cách bố–con nhân với 5/8.

Bước 3: Lập dãy khoảng cách

Đặt D₀ = 12 km (lúc mới xuất phát, chó ở với bố).

Quy ước:

• D₀: Khoảng cách lúc chó bắt đầu chạy bố–>con lần 1

• D₁: Sau chặng bố–>con lần 1 (chuẩn bị bắt đầu con–>bố lần 1)

• D₂: Sau chặng con–>bố lần 1 (chuẩn bị bố–>con lần 2)

• D₃: Sau chặng bố–>con lần 2.. Cứ thế.

Ta có:

D₁ = (2/5) ·d₀

D₂ = (5/8) ·d₁ = (5/8) · (2/5) ·d₀ = (1/4) ·d₀

D₃ = (2/5) ·d₂ = (2/5) · (1/4) ·d₀ = (1/10) ·d₀

D₄ = (5/8) ·d₃ = (5/8) · (1/10) ·d₀ = (1/16) ·d₀

* * *

Nhìn dạng chung:

Gọi a = 2/5, b = 5/8 thì b·a = 1/4.

D₂k = (b·a) ᵏ · D₀ = (1/4) ᵏ · D₀

D₂k+1 = a· (1/4) ᵏ · D₀

Bước 4: Thời gian chó chạy với từng vận tốc

A) Thời gian chó chạy với v3 = 8 km/h (bố–>con)

Những chặng này tương ứng với khoảng cách D₀, D₂, D₄..

Thời gian từng chặng: D₂k / 10.

Tổng thời gian T₈:

T₈ = Σ (D₂k / 10) = (1/10) Σ D₀· (1/4) ᵏ

= (d₀/10) · 1 / (1 − 1/4)

= (d₀/10) · (1 / (3/4))

= (d₀/10) · (4/3)

= 12 · (4/30) = 48/30 = 8/5 giờ = 1, 6 giờ

B) Thời gian chó chạy với v4 = 12 km/h (con–>bố)

Những chặng này tương ứng với D₁, D₃, D₅..

Thời gian từng chặng: D₂k+1 / 16, với D₂k+1 = a· (1/4) ᵏ·D₀.

Tổng thời gian T₁₂:

T₁₂ = Σ (D₂k+1 / 16)

= σ [a·D₀· (1/4) ᵏ / 16]

= (a·D₀ / 16) · 1 / (1 − 1/4)

= (a·D₀ / 16) · (4/3)

= a·D₀ / 12

Thay a = 2/5, D₀ = 12:

T₁₂ = (2/5 · 12) / 12 = 2/5 giờ = 0, 4 giờ

Tổng thời gian chó chạy:

T₈ + T₁₂ = 1, 6 + 0, 4 = 2 giờ

Khớp với thời gian hai bố con gặp nhau (kiểm tra rất đẹp).

Bước 5: Quãng đường chó chạy

Quãng đường S chó chạy:

S = v3·T₈ + v4·T₁₂

= 8· (8/5) + 12· (2/5)

= 64/5 + 24/5

= 88/5 km

= 17, 6 km

Kết luận:

A) Thời gian để hai bố con gặp nhau là 2 giờ.

B) Con chó chạy tổng cộng 17, 6 km.