[LacTuyetHy]

Câu 3: Một bình hình trụ có bán kính đáy là R1 = 20 cm chứa nước ở nhiệt độ t1 = 20°C đặt trên mặt bàn nằm ngang. Người là thả một quả cầu đục bằng nhôm có bán kính R2 = 10 cm ở nhiệt độ t2 =40°C vào bình thì khi cân bằng mực nước trong bình ngập chính giữa quả cầu. Bỏ qua sự trao đổi nhiệt giữa nước, quả cầu với bình và môi trường; cho biết khối lượng riêng của nước là D1 = 1000 kg/m³ và của nhôm là D2 = 2700 kg/m³; nhiệt dung riêng của nước là c1 =4200J/kg. K và của nhôm là c2 =880J/kg. K

A) Tìm nhiệt độ của nước khi cân bằng nhiệt

B) Đổ thêm dấu ở nhiệt độ t3 = 15°C vào bình cho vừa đủ ngập quả cầu. Biết khối lượng riêng của dầu là D3 = 800 kg/m³, nhiệt dung riêng của dầu là c3 = 2800J/kg. K; bỏ qua sự trao đổi nhiệt giữa nước quả cầu và dầu với bình và môi trường. Hãy xác định nhiệt độ của hệ khi cân bằng nhiệt, áp lực của quả cầu lên đáy bình.

Đáp án:

A) Nhiệt độ cân bằng của nước (chỉ có nước + quả cầu)​

1. Hình học – để tìm khối lượng nước

– Bán kính bình: R₁ = 20 cm = 0, 20 m

– Bán kính quả cầu nhôm: R₂ = 10 cm = 0, 10 m

Quả cầu đặt xuống đáy bình, tâm quả cầu cách đáy 10 cm. Đề cho: Sau khi thả quả cầu, mực nước ngập đến đúng "chính giữa" quả cầu → mực nước qua tâm quả cầu → độ cao mực nước là 10 cm = 0, 10 m.

Lúc này:

Thể tích phần nước trong bình = thể tích trụ cao 0, 10 m trừ đi thể tích nửa quả cầu (nửa dưới) :

Thể tích cả quả cầu:

V_cầu = 4/3 π R₂³ = 4/3 π (0, 10) ³ = 4/3000 π = π/750 (m³)

Thể tích nửa quả cầu (nửa dưới, chìm trong nước) :

V_bán_cầu = V_cầu / 2 = π/1500 (m³)

Thể tích nước (ban đầu, trước khi thả quả cầu) :

V_nước = V_trụ_sau − V_bán_cầu

V_trụ_sau = π R₁² h = π (0, 20) ² · 0, 10 = π·0, 04·0, 10 = 0, 004π

⇒ V_nước = 0, 004π − π/1500

Đưa về mẫu 1500: 0, 004 = 4/1000 = 6/1500

⇒ V_nước = (6/1500 − 1/1500) π = 5π/1500 = π/300 (m³)

Khối lượng nước:

M₁ = D₁ V_nước = 1000 · (π/300) = (1000/300) π = 10π/3 (kg) ≈ 10, 47 kg

Khối lượng quả cầu nhôm:

M₂ = D₂ V_cầu = 2700 · (π/750) = (2700/750) π = 3, 6π (kg) ≈ 11, 31 kg

2. Cân bằng nhiệt giữa nước và quả cầu

– Ban đầu:

Nước: T₁ = 20°C

Quả cầu: T₂ = 40°C

Nhiệt độ cân bằng: Gọi là T (°C).

Không trao đổi nhiệt ra ngoài nên:

Nhiệt lượng quả cầu tỏa ra = nhiệt lượng nước thu vào

M₂ c₂ (t₂ − T) = m₁ c₁ (T − t₁)

Thay số:

M₂ = 3, 6π; c₂ = 880; t₂ = 40

M₁ = 10π/3; c₁ = 4200; t₁ = 20

3, 6π · 880 (40 − T) = (10π/3) · 4200 (T − 20)

Chia hai vế cho π:

3, 6·880 (40 − t) = (10/3) ·4200 (t − 20)

Giải ra được:

T ≈ 23, 7°c

Vậy nhiệt độ nước (và quả cầu) khi cân bằng nhiệt sau bước A khoảng 23, 7°C.

B) Thêm dầu, tìm nhiệt độ cân bằng mới và lực (áp lực) của quả cầu lên đáy​

1. Hình học khi đổ thêm dầu

Ta đổ thêm dầu ở nhiệt độ t₃ = 15°C cho vừa đủ ngập quả cầu.

Nghĩa là mực chất lỏng (tổng nước + dầu) lên đến đỉnh quả cầu, cao 2R₂ = 20 cm = 0, 20 m.

Do dầu nhẹ hơn nước (D₃ = 800 kg/m³ < 1000 kg/m³), dầu sẽ nổi lên trên nước.

Mực phân cách nước – dầu chính là mực nước cũ (10 cm), vì thể tích nước không đổi và hình học không đổi:

– Từ đáy đến 10 cm: Nước (như trước)

– Từ 10 cm đến 20 cm: Dầu

Phần quả cầu:

– Nửa dưới (từ 0 đến 10 cm) : Chìm trong nước

– Nửa trên (từ 10 đến 20 cm) : Chìm trong dầu

Thể tích dầu cần đổ vào:

V_dầu = thể tích trụ cao 0, 10 m − thể tích nửa quả cầu (nửa trên)

Nhưng về mặt số học nó chính là:

V_dầu = π R₁² · 0, 10 − V_bán_cầu

= 0, 004π − π/1500

= π/300 (m³)

Thú vị là V_dầu = V_nước (bằng nhau).

Khối lượng dầu:

M₃ = D₃ V_dầu = 800 · (π/300) = 8π/3 (kg) ≈ 8, 38 kg

2. Cân bằng nhiệt giữa nước + quả cầu + dầu

Trước khi đổ dầu: Nước và quả cầu đều ở nhiệt độ T ≈ 23, 7°C (từ câu A).

Dầu đổ vào có nhiệt độ t₃ = 15°C.

Sau một thời gian, cả ba cùng đạt nhiệt độ cân bằng mới T' (°C).

Không trao đổi nhiệt với môi trường nên:

Nhiệt lượng nước + quả cầu tỏa ra = nhiệt lượng dầu thu vào

(m₁ c₁ + m₂ c₂) (T − T') = m₃ c₃ (T' − t₃)

Thay số:

M₁ = 10π/3; c₁ = 4200

M₂ = 3, 6π; c₂ = 880

T ≈ 23, 7

M₃ = 8π/3; c₃ = 2800

T₃ = 15

Giải phương trình ta được:

T' ≈ 21, 1°c

Vậy nhiệt độ cân bằng của toàn hệ (nước + quả cầu + dầu) ≈ 21, 1°C.

3. Lực (áp lực) quả cầu tác dụng lên đáy bình

Xét cân bằng lực theo phương thẳng đứng tác dụng lên quả cầu sau khi đã đổ dầu xong (khi đã ổn định) :

Các lực lên quả cầu:

– Trọng lực P = m₂ g (hướng xuống)

– Lực đẩy Archimedes do nước: F₁ (hướng lên)

– Lực đẩy Archimedes do dầu: F₂ (hướng lên)

– Phản lực N của đáy bình lên quả cầu (hướng lên)

Hoặc ta cũng có thể coi N là lực quả cầu tác dụng lên đáy (theo định luật III Newton, độ lớn như nhau).

Cân bằng:

P = f₁ + f₂ + n

⇒ n = p − f₁ − f₂

Thể tích nửa quả cầu trong nước: V₁ = V_cầu/2

Thể tích nửa quả cầu trong dầu: V₂ = V_cầu/2

Lực đẩy (độ lớn) :

F₁ = D₁ g V₁ = ρ₁ g (V_cầu/2)

F₂ = D₃ g V₂ = ρ₃ g (V_cầu/2)

Trọng lực:

P = m₂ g = ρ₂ V_cầu g

Do đó:

N = ρ₂ V_cầu g − [ρ₁ (V_cầu/2) g + ρ₃ (V_cầu/2) g]

= g V_cầu [ρ₂ − (ρ₁ + ρ₃) /2]

Thay số:

Ρ₂ = 2700 kg/m³

Ρ₁ = 1000 kg/m³

Ρ₃ = 800 kg/m³

V_cầu = π/750 (m³)

Lấy g ≈ 10 m/s² cho đúng kiểu đề Việt Nam:

N = 10 · (π/750) · [2700 − (1000 + 800) /2]

(1000 + 800) /2 = 900

2700 − 900 = 1800

⇒ N = 10 · (π/750) · 1800

= 10 · π · (1800/750)

= 10 · π · 2, 4

= 24π (N) ≈ 75, 4 N

Vậy lực quả cầu ép lên đáy bình (áp lực theo nghĩa lực) khoảng 75 N.

Tóm lại:

A) Nhiệt độ cân bằng sau khi thả quả cầu nhôm vào nước: Khoảng 23, 7°C.

B) Sau khi đổ thêm dầu cho vừa ngập quả cầu:

– Nhiệt độ cân bằng của hệ: Khoảng 21, 1°C.

– Lực quả cầu tác dụng lên đáy bình: N ≈ 24π N ≈ 75, 4 N.