1100
77
Các bất đẳng thức quan trọng
1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means) :
Với các bộ số a1;a2;.. ;an không âm ta có: A1+a2+.. +ann≥a1a2.. ann
Ta có 3 dạng
Dạng 1: A1+a2+.. +ann≥a1a2.. ann
Dạng 2: A1+a2+.. +an≥na1a2.. ann
Dạng 3 :(a1+a2+.. +ann) n≥a1a2.. an
Dấu "=" xảy ra khi a1=a2=.. an
2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)
Dạng tổng quát: Cho a1;a2;.. an;b1;b2;.. bnlà 2n số thực tùy ý khi đó
Dạng 1 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥ (a1b1+.. +an. Bn) 2 (1)
Dạng 2 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥
A1b1+.. +an. Bn
(2)
Dạng 3 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥a1b1+.. +an. Bn (3)
3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz
Cho a1;a2;.. an;b1;b2;.. bn là các số >0
Ta có: X12a1+x22a2+.. +xn2an≥ (x1+x2+.. +xn) 2a1+a2+.. +an
Dấu "=" xảy ra khi x1a1=x2a2.. =xnan
4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)
Dạng tổng quát
Nếu {a1≥a2≥.. ≥anb1≥b2≥.. ≥bn
Hoặc {a1≤a2≤.. ≤anb1≤b2≤.. ≥bn
Dạng 1:
A1. B1+a2. B2+.. +an. Bnn≥a1+a2+.. +ann. B1+b2+.. +bnn
Dạng 2: N (a1b1+a2b2+.. +anbn) ≥ (a1+a2+.. +an) (b1+b2+.. +bn)
Nếu {a1≤a2≤.. ≤anb1≥b2≥.. ≥bn
Hoặc {a1≥a2≥.. ≥anb1≤b2≤.. ≤bn
Dạng 1: A1. B1+a2b2+.. +an. Bnn≤a1+a2+.. +ann. B1+b2+.. +bnn
Dạng 2: N (a1b1+a2b2+.. +anbn) ≤ (a1+a2+.. +an) (b1+b2+.. +bn)
5. Bất đẳng thức Bernoulli
Với x>−1;r≥1∨r≤0⇒ (1+x) r≥1+rx
Nếu 1>r>0 thì (1+x) r≤1+rx
6. Bất đẳng thức Netbitt
Dây Là các dạng thường gặp
Với x, y, z là các số thực >0
Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:
Xy+z+zx+y+yx+z≥32
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z>0
BĐT Netbitt 4 biến:
Ab+c+bd+c+cd+a+da+b≥2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d>0
7. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)
Nếu a1, a2, an là những số thực dương thì
A1+a2+.. +ann≥n1a1+1a2+.. +1an
Dấu "=" xảy ra khi a1=a2=.. =an
8. Bất đẳng thức Schur
Dạng thường gặp
Cho a, b, c là những số không âm
(a+b−c) (b+c−a) (c+a−b) ≤abc
Ar (a−b) (a−c) +br (b−a) (b−c) +cr (c−a) (c−b) ≥0 với r là số thực dương
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị
9. Bất đẳng thức Mincopxki
Với 2 bộ n số a1, a2, am và b1, b2, bm thì:
Dạng 1:
A12+b12+a22+b22+.. +am2+bm2≥ (a1+a2+.. +am) 2+ (b1+b2+.. +bm) 2
Dạng 2: Cho x, y, z, a, b, c là các số dương ta có
Abc4+xyz4≤ (a+x) (b+y) (c+z) 4ac+bd≤ (a+b) (c+d)
Sưu tầm
Chúc các bạn học toán vui vẻ
1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means) :
Với các bộ số a1;a2;.. ;an không âm ta có: A1+a2+.. +ann≥a1a2.. ann
Ta có 3 dạng
Dạng 1: A1+a2+.. +ann≥a1a2.. ann
Dạng 2: A1+a2+.. +an≥na1a2.. ann
Dạng 3 :(a1+a2+.. +ann) n≥a1a2.. an
Dấu "=" xảy ra khi a1=a2=.. an
2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)
Dạng tổng quát: Cho a1;a2;.. an;b1;b2;.. bnlà 2n số thực tùy ý khi đó
Dạng 1 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥ (a1b1+.. +an. Bn) 2 (1)
Dạng 2 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥
A1b1+.. +an. Bn
(2)
Dạng 3 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥a1b1+.. +an. Bn (3)
3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz
Cho a1;a2;.. an;b1;b2;.. bn là các số >0
Ta có: X12a1+x22a2+.. +xn2an≥ (x1+x2+.. +xn) 2a1+a2+.. +an
Dấu "=" xảy ra khi x1a1=x2a2.. =xnan
4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)
Dạng tổng quát
Nếu {a1≥a2≥.. ≥anb1≥b2≥.. ≥bn
Hoặc {a1≤a2≤.. ≤anb1≤b2≤.. ≥bn
Dạng 1:
A1. B1+a2. B2+.. +an. Bnn≥a1+a2+.. +ann. B1+b2+.. +bnn
Dạng 2: N (a1b1+a2b2+.. +anbn) ≥ (a1+a2+.. +an) (b1+b2+.. +bn)
Nếu {a1≤a2≤.. ≤anb1≥b2≥.. ≥bn
Hoặc {a1≥a2≥.. ≥anb1≤b2≤.. ≤bn
Dạng 1: A1. B1+a2b2+.. +an. Bnn≤a1+a2+.. +ann. B1+b2+.. +bnn
Dạng 2: N (a1b1+a2b2+.. +anbn) ≤ (a1+a2+.. +an) (b1+b2+.. +bn)
5. Bất đẳng thức Bernoulli
Với x>−1;r≥1∨r≤0⇒ (1+x) r≥1+rx
Nếu 1>r>0 thì (1+x) r≤1+rx
6. Bất đẳng thức Netbitt
Dây Là các dạng thường gặp
Với x, y, z là các số thực >0
Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:
Xy+z+zx+y+yx+z≥32
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z>0
BĐT Netbitt 4 biến:
Ab+c+bd+c+cd+a+da+b≥2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d>0
7. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)
Nếu a1, a2, an là những số thực dương thì
A1+a2+.. +ann≥n1a1+1a2+.. +1an
Dấu "=" xảy ra khi a1=a2=.. =an
8. Bất đẳng thức Schur
Dạng thường gặp
Cho a, b, c là những số không âm
(a+b−c) (b+c−a) (c+a−b) ≤abc
Ar (a−b) (a−c) +br (b−a) (b−c) +cr (c−a) (c−b) ≥0 với r là số thực dương
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị
9. Bất đẳng thức Mincopxki
Với 2 bộ n số a1, a2, am và b1, b2, bm thì:
Dạng 1:
A12+b12+a22+b22+.. +am2+bm2≥ (a1+a2+.. +am) 2+ (b1+b2+.. +bm) 2
Dạng 2: Cho x, y, z, a, b, c là các số dương ta có
Abc4+xyz4≤ (a+x) (b+y) (c+z) 4ac+bd≤ (a+b) (c+d)
Sưu tầm
Chúc các bạn học toán vui vẻ
