Các dạng Bất đẳng thức thường gặp

Thảo luận trong 'Học Online' bắt đầu bởi Món quà cuộc sống, 24 Tháng bảy 2021.

  1. Các bất đẳng thức quan trọng

    1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means) :

    Với các bộ số a1;a2;.. ;an không âm ta có: A1+a2+.. +ann≥a1a2.. ann

    Ta có 3 dạng

    Dạng 1: A1+a2+.. +ann≥a1a2.. ann

    Dạng 2: A1+a2+.. +an≥na1a2.. ann

    Dạng 3 :(a1+a2+.. +ann) n≥a1a2.. an

    Dấu "=" xảy ra khi a1=a2=.. an

    2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

    Dạng tổng quát: Cho a1;a2;.. an;b1;b2;.. bnlà 2n số thực tùy ý khi đó

    Dạng 1 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥ (a1b1+.. +an. Bn) 2 (1)

    Dạng 2 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥

    A1b1+.. +an. Bn

    (2)

    Dạng 3 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥a1b1+.. +an. Bn (3)

    3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz

    Cho a1;a2;.. an;b1;b2;.. bn là các số >0

    Ta có: X12a1+x22a2+.. +xn2an≥ (x1+x2+.. +xn) 2a1+a2+.. +an

    Dấu "=" xảy ra khi x1a1=x2a2.. =xnan

    4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

    Dạng tổng quát

    Nếu {a1≥a2≥.. ≥anb1≥b2≥.. ≥bn

    Hoặc {a1≤a2≤.. ≤anb1≤b2≤.. ≥bn

    Dạng 1:

    A1. B1+a2. B2+.. +an. Bnn≥a1+a2+.. +ann. B1+b2+.. +bnn

    Dạng 2: N (a1b1+a2b2+.. +anbn) ≥ (a1+a2+.. +an) (b1+b2+.. +bn)

    Nếu {a1≤a2≤.. ≤anb1≥b2≥.. ≥bn

    Hoặc {a1≥a2≥.. ≥anb1≤b2≤.. ≤bn

    Dạng 1: A1. B1+a2b2+.. +an. Bnn≤a1+a2+.. +ann. B1+b2+.. +bnn

    Dạng 2: N (a1b1+a2b2+.. +anbn) ≤ (a1+a2+.. +an) (b1+b2+.. +bn)

    5. Bất đẳng thức Bernoulli

    Với x>−1;r≥1∨r≤0⇒ (1+x) r≥1+rx

    Nếu 1>r>0 thì (1+x) r≤1+rx

    6. Bất đẳng thức Netbitt

    Dây Là các dạng thường gặp

    Với x, y, z là các số thực >0

    Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

    Xy+z+zx+y+yx+z≥32

    Dấu "=" xảy ra khi x=y=z>0

    BĐT Netbitt 4 biến:

    Ab+c+bd+c+cd+a+da+b≥2

    Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d>0

    7. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)

    Nếu a1, a2, an là những số thực dương thì

    A1+a2+.. +ann≥n1a1+1a2+.. +1an

    Dấu "=" xảy ra khi a1=a2=.. =an

    8. Bất đẳng thức Schur

    Dạng thường gặp

    Cho a, b, c là những số không âm

    (a+b−c) (b+c−a) (c+a−b) ≤abc

    Ar (a−b) (a−c) +br (b−a) (b−c) +cr (c−a) (c−b) ≥0 với r là số thực dương

    Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị

    9. Bất đẳng thức Mincopxki

    Với 2 bộ n số a1, a2, am và b1, b2, bm thì:

    Dạng 1:

    A12+b12+a22+b22+.. +am2+bm2≥ (a1+a2+.. +am) 2+ (b1+b2+.. +bm) 2

    Dạng 2: Cho x, y, z, a, b, c là các số dương ta có

    Abc4+xyz4≤ (a+x) (b+y) (c+z) 4ac+bd≤ (a+b) (c+d)

    Sưu tầm

    Chúc các bạn học toán vui vẻ
     
  2. Đang tải...
Trả lời qua Facebook
Đang tải...