Các bất đẳng thức quan trọng 1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means) : Với các bộ số a1;a2;.. ;an không âm ta có: A1+a2+.. +ann≥a1a2.. ann Ta có 3 dạng Dạng 1: A1+a2+.. +ann≥a1a2.. ann Dạng 2: A1+a2+.. +an≥na1a2.. ann Dạng 3 :(a1+a2+.. +ann) n≥a1a2.. an Dấu "=" xảy ra khi a1=a2=.. an 2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky) Dạng tổng quát: Cho a1;a2;.. an;b1;b2;.. bnlà 2n số thực tùy ý khi đó Dạng 1 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥ (a1b1+.. +an. Bn) 2 (1) Dạng 2 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥ A1b1+.. +an. Bn (2) Dạng 3 :(a12+.. +an2) (b12+.. +bn2) ≥a1b1+.. +an. Bn (3) 3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz Cho a1;a2;.. an;b1;b2;.. bn là các số >0 Ta có: X12a1+x22a2+.. +xn2an≥ (x1+x2+.. +xn) 2a1+a2+.. +an Dấu "=" xảy ra khi x1a1=x2a2.. =xnan 4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép) Dạng tổng quát Nếu {a1≥a2≥.. ≥anb1≥b2≥.. ≥bn Hoặc {a1≤a2≤.. ≤anb1≤b2≤.. ≥bn Dạng 1: A1. B1+a2. B2+.. +an. Bnn≥a1+a2+.. +ann. B1+b2+.. +bnn Dạng 2: N (a1b1+a2b2+.. +anbn) ≥ (a1+a2+.. +an) (b1+b2+.. +bn) Nếu {a1≤a2≤.. ≤anb1≥b2≥.. ≥bn Hoặc {a1≥a2≥.. ≥anb1≤b2≤.. ≤bn Dạng 1: A1. B1+a2b2+.. +an. Bnn≤a1+a2+.. +ann. B1+b2+.. +bnn Dạng 2: N (a1b1+a2b2+.. +anbn) ≤ (a1+a2+.. +an) (b1+b2+.. +bn) 5. Bất đẳng thức Bernoulli Với x>−1;r≥1∨r≤0⇒ (1+x) r≥1+rx Nếu 1>r>0 thì (1+x) r≤1+rx 6. Bất đẳng thức Netbitt Dây Là các dạng thường gặp Với x, y, z là các số thực >0 Bất đẳng thức Netbitt 3 biến: Xy+z+zx+y+yx+z≥32 Dấu "=" xảy ra khi x=y=z>0 BĐT Netbitt 4 biến: Ab+c+bd+c+cd+a+da+b≥2 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d>0 7. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means) Nếu a1, a2, an là những số thực dương thì A1+a2+.. +ann≥n1a1+1a2+.. +1an Dấu "=" xảy ra khi a1=a2=.. =an 8. Bất đẳng thức Schur Dạng thường gặp Cho a, b, c là những số không âm (a+b−c) (b+c−a) (c+a−b) ≤abc Ar (a−b) (a−c) +br (b−a) (b−c) +cr (c−a) (c−b) ≥0 với r là số thực dương Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị 9. Bất đẳng thức Mincopxki Với 2 bộ n số a1, a2, am và b1, b2, bm thì: Dạng 1: A12+b12+a22+b22+.. +am2+bm2≥ (a1+a2+.. +am) 2+ (b1+b2+.. +bm) 2 Dạng 2: Cho x, y, z, a, b, c là các số dương ta có Abc4+xyz4≤ (a+x) (b+y) (c+z) 4ac+bd≤ (a+b) (c+d) Sưu tầm Chúc các bạn học toán vui vẻ
