Phân tích thứ nguyên trong việc hỗ trợ giải các bài toán vật lý

Xin chào mọi người.

Trong quá trình học vật lý, tôi thấy thứ nguyên là một thứ rất quan trọng trong việc giải các bài tập, kiểm tra lại kết quả hay hiểu rõ bản chất của các hiện tượng vật lý. "Thứ nguyên" nghe rất ghê gớm đúng không? Trong các phim, truyện viễn tưởng thường hay nhắc đến nó như một điều gì đó cao xa lắm.

1. Vậy thứ nguyên là gì?

Theo từ điển mở Wikitionary [2], thứ nguyên là biểu thức thể hiện mối quan hệ giữa một đại lượng vật lý thông thường với một số đại lượng vật lý cơ bản.

Hay một cách cụ thể và dễ hiểu như David Morin [1] viết thì đó là bậc của khối lượng, độ dài và thời gian (chúng chính là các đại lượng vật lý cơ bản và dĩ nhiên còn nhiều đại lượng khác nữa) bên trong đại lượng. Đại lượng vật lý là các thể hiện về mặt định lượng bản chất vật lý có thể đo lường được của một vật thể hay hiện tượng tự nhiên. Vậy nên mới nói việc phân tích thứ nguyên giúp hiểu rõ bản chất của hiện tượng hơn.

*Cần phân biệt thứ nguyên và đơn vị. Nhiều người vẫn hay nhầm lẫn thứ nguyên với đơn vị là một. Lấy một ví dụ và chúng ta sẽ hiểu rõ hơn: Khối lượng có thứ nguyên là M và đơn vị là kg. Thứ nguyên của khối lượng là M và chỉ là M mà thôi, nó cho thấy vật đó có "một khối lượng" còn đơn vị của khối lượng không phải lúc nào cũng là kg, nó có thể là g hay pound. Nó cho thấy vật đó có khối lượng là..

2. Việc phân tích thứ nguyên có lợi ích gì trong việc giải các bài toán vật lý?

Đầu tiên, trước khi tiến hành thực hiện giải một bài toán vật lý, chúng ta nên tóm tắt lại các dữ kiện mà đề cho. Nhờ vào cách phân tích thứ nguyên ta có thể đoán trước được dạng của đáp án với sai khác một hằng số nào đó.

Thứ hai, sau khi thực hiện các phép tính và thu được kết quả, việc phân tích thứ nguyên giúp ta kiểm tra lại xem biểu thức đó có đúng hay là không. Có rất nhiều trường hợp người ra đề biết được đâu là chỗ chúng ta hay nhầm lẫn về bản chất nhất mà đánh vào đó. Nếu làm theo quán tính bình thường sẽ xa vào bẫy mà họ bày ra từ trước, đáp án tất nhiên là hoàn toàn đúng nhưng thứ nguyên thì sai hoàn toàn.

Việc kiểm tra lại thứ nguyên nên là điều kiện bắt buộc phải có sau mỗi bài toán vật lý.

* Lưu ý: Không phải đại lượng nào cũng có thứ nguyên. Trường hợp hay gặp phải nhất chính là góc θ

VD: Chúng ta ai cũng biết công thức tính chiều dài một cung tròn là

, rõ ràng s có thứ nguyên là chiều dài và l cũng vậy. Thế θ có thứ nguyên là gì? Câu trả lời là nó không hề có thứ nguyên.

Để rõ hơn chúng ta đến với một ví dụ quen thuộc từ cấp 3, con lắc đơn. [1]



Chắc hẳn ai cũng biết kết quả là một công thức phải thuộc làu làu là

Tần số có thứ nguyên là 1/T và tổ hợp duy nhất có thứ nguyên đó là

. Thế 2pi biến đâu mất tiêu rồi? Như đã nói ở gạch đầu dòng thứ nhất, chúng ta chỉ có thể đoán được dạng của đáp án với sai khác một hằng số. Dù cho đã biết θ là một đại lượng không thứ nguyên nhưng vẫn không thể loại trừ được sự ảnh hưởng của nó đến kết quả. Khi đó ta viết



Phải tận dụng hết tất cả các dữ kiện đề bài cho để phân tích thứ nguyên dù nó có là đại lượng không thứ nguyên đi chăng nữa.

Ngoài ra, thông qua thứ nguyên ta có thể hiểu rõ hơn về bản chất của các hiện tượng vật lý.

Ví dụ như: Hiệu điện thế U có đơn vị Vôn của điện thế và cũng chính cái tên nó nói rằng nó là hiệu chênh lệch điện thế giữa hai điểm (Uab= -Uba), điều này đã được dạy ở cấp 2. Cùng với đó là công thức tính công suất của mạch điện P=U. I.

Định nghĩa của dòng điện như sau: Dòng điện là dòng chuyển dịch có hướng của các hạt mang điện. Từ định nghĩa ta rút ra thứ nguyên của dòng điện I.

cường độ dòng điện là số lượng điện tích chạy qua trong một đơn vị thời gian. Còn công suất có thứ nguyên là

công thực hiện được trong một đơn vị thời gian. Đồng nhất thức hai biểu thức ta thu được thứ nguyên của hiệu điện thế U.

nhìn vào thứ nguyên ta phát biểu rằng hiệu điện thế U là khả năng thực hiện công trên một đơn vị điện tích.

3. Cách phân tích thứ nguyên hiệu quả.

Như David Morin viết thì thứ nguyên là bậc của khối lượng, độ dài và thời gian bên trong đại lượng. Hãy chú ý đến từ "bậc", đáp án có thể là mọi thứ trên trời dưới đất nhưng đều là bậc của ba thứ trên.

Vậy nên ta viết: AaBbCc với A, B, C là thứ nguyên của các đại lượng đề cho

Thí dụ: G=m/s^2 thì g được viết là (L/T^2^) a, m=kg thì m được viết là Mb, l=m thì l được viết là Lc

Chúng ta đã biết kết quả cần tìm có thứ nguyên là 1/T, từ đó giải tìm a, b, c ta sẽ được a=0, b=-1/2, c=1/2

Chính là

và không thể bỏ sót đại lượng góc từ đề bài.

4. Luyện tập

Sau đây là một số bài tập để các bạn luyện thêm. [1]

Ví dụ (Vệ tinh quỹ đạo thấp) : Một vệ tinh khối lượng m chuyển động theo một quỹ đão tròn ngay bên trên bề mặt trái đất. Chúng ta có thể kết luận gì về vận tốc của vệ tinh?

Đáp số:



Ví dụ (lò xo) : Một lò xo độ cứng k được gắn một khối lượng m vào một đầu của nó. Lực lò xo là F (x) =-kx với x là khoảng cách từ vị trí cân bằng. Chúng ta có thể kết luận gì về tần số của giao động?

Đáp số:



Tôi đã rút gọn nhất có thể để các bạn nắm được đôi nét giúp cho việc giải các bài tập vật lý còn để nghiên cứu chuyên sâu thì không dám. Các bạn hãy cố gắng áp dụng nó vào hầu hết những công thức mà mình gặp phải để việc này trở thành thói quen. Nó rất có ích đấy. Cảm ơn các bạn đã đón đọc.

Tài liệu tham khảo:

[1] Nhập môn cơ học lý thuyết, David Morin bản dịch tiếng Việt của Trần Thanh Tuấn và Nguyễn Xuân Nguyên, hiệu đính bởi PGS. TS. Đào Văn Dũng

[2] Wikitionary thứ nguyên Link ngày 18/10/2022