Một số bài tập liên quan đến hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp. (Toán 11)

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP​

Câu 1: Một lớp 11 có 30 học sinh, gồm 15 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh thành 2 hàng, 1 hàng nam và một hàng nữ trong lúc tập thể dục giữa giờ?

Giải:

Xếp một hàng nam có 15! Cách.

Xếp một hàng nữ có 15! Cách.

Có 2 cách hoán vị đổi vị trí của hai hàng.

Nên có 15! 15! 2= 2. (15) ^2 cách.

Câu 2: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số và các chữ số đôi một bất kì khác nhau.

Giải:

Gọi số cần tìm có dạng abcd (có gạch trên)

Trường hợp 1: D=0 nên có 1 cách.

Chọn a có 5C1 cách.

Chọn b có 4C1 cách.

Chọn c có 3C1 cách.​

Trường hợp 2: D=2 hoặc d=4 nên có 2 cách chọn d.

Chọn a có 4C1 cách.

Chọn b có 4C1 cách.

Chọn c có 3C1 cách.​

Từ hai trường hợp suy ra có:

1.5C3.4C1.3C1+2.4C1.4C1.3C1=156 cách.​

Câu 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số dạng a1a2a3a4a5 mà a1<a2<a3<a4<a5.

Giải:

Vì a1<a2<a3<a4<a5 nên chọn 5 chữ số trong 9 chữ số thì chỉ có 1 cách sắp xếp (a khác 0)

Nên các số thỏa mãn là 9C5=126.

Câu 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số trong đó có 3 chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện đúng một lần.

Giải:

Chọn 5 số khác 0 trong 9 số có 9C5 cách.

Xếp 5 số này có 5! Cách.

Vì số 0 không đặt ở đầu nên có 5 chỗ cho ba chữ số 0 sao cho không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau nên có 5C3 cách đặt chữ số 0.

Từ đó suy ra có 9C5.5! 5C3=151200 cách.

Câu 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau?

Giải:

Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5a6 (có gạch trên)

Chọn a1 có 9 cách.

Chọn các số công lại có 9P5 cách.

Nên có 9.9P5=136080 cách.

Câu 6: Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số 3, 6 không đứng cạnh nhau?

Giải:

Xếp 3 số 2, 4, 5 vào 3 vị trí có 3! Cách.

Còn lại 4 vị trí để xếp số 3 và 6 sao cho 3, 6 không đứng cạnh nhau có 4P2 cách.

Từ đó suy ra có 3! 4P2=72 cách.

Câu 7: Một nhóm gồm 6 học sinh trong đó có hai em là Pi và Cute. Số cách xếp 6 em đó thành một hàng dọc sao cho Pi và Cute đứng cạnh nhau là?

Giải:

Gọi Pi và Cute là một nên có 2! Cách xếp thứ tự giữa 2 bạn.

Có 5! Cách xếp thành một hàng sao cho Pi và Cute đứng cạnh nhau.

Nên có 5! 2! =240 cách.

Câu 8: Có 3 bạn nam và 3 bạn nữa được xếp vào một ghế dài có 6 vị trí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho bạn nam và nữa ngồi xem kẽ lẫn nhau?

Giải:

Trường hợp 1: Bạn nữa ngồi đầu.

Xếp nữ có 3! Cách.

Xếp nam có 3! Cách.

Nên có 3! 3! =36 cách.​

Trường hợp 2: Bạn nam ngồi đầu.

Xếp nam có 3! Cách.

Xếp nữ có 3! Cách.

Nên có 3! 3! =36 cách.​

Từ hai trường hợp có 36+36=72 cách xếp.

Câu 9: Lớp 11A1 có 41 học sinh trong đó có 21 bạn nam và 20 bạn nữ. Thứ 2 đầu tuần lớp phải xếp hàng chào cờ thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 21 bạn nam xem kẽ với 20 bạn nữ?

Giải:

Để xếp xen kẽ thì bạn nam phải đứng đầu.

Xếp bạn nam có 21! Cách.

Xếp bạn nữ có 20! Cách.

Nên có 21! 20! Cách.

Câu 10: Một tổ công nhân có 12 người. Cần chọn 3 người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải:

Chọn một người làm tổ trưởng có 12C1 cách.

Chọn một người làm tổ phó có 11C1 cách.

Chọn một người làm thành viên có 10C1 cách.

Từ đó suy ra có 12C1.11C1.10C1=1320 cách.

-Bài làm của minhnguyet-​

 

Câu 11: Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa mãn yêu cầu trên.

Giải:

Bấm để xem

Gọi 2 nền nhà kề nhau nhóm 1 cần mua là một nền nhà.

Gọi 3 nền kề nhau nhóm 2 cần mua là một nền nhà.

Từ đó suy ra có 4 nền nhà.

Nhóm 1: Có 4 cách chọn.

Nhóm 2: Có 3 cách chọn.

Trong nhóm 1, số cách chọn nền nhà cho mỗi người là 2! Cách.

Trong nhóm 2, số cách chọn nền cho mỗi người là 3! Cách.

Nên có: 4.3. 2! 3! =144 cách.

Câu 12: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ có 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nghiệm có bao nhiêu cách chọn. Ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư.

Giải:

Bấm để xem

Chọn 3 học sinh làm 3 nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư có 35P3 cách.

Vậy có 39270 cách chọn.

Câu 13: Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lí thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo ra được bao nhiêu đề như trên?

Giải:

Bấm để xem

Trường hợp 1: 1 câu lí thuyết và 2 câu bài tập.

Chọn 1 câu lí thuyết có 4C1 cách.

Chọn 2 câu bài tập có 6C2 cách.​

Nên có 4C1.6C2=60 cách.

Trường hợp 2: 2 câu lí thuyết và 1 câu bài tập.

Chọn 2 câu lí thuyết có 4C2 cách.

Chọn 1 câu bài tập có 6C1 cách.​

Nên có 4C2.6C1=36 cách.

Từ hai trường hợp suy ra có 60+36=96 cách.

Câu 14: Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng đầu hoặc cuối hàng?

Giải:

Bấm để xem

Xếp ngẫu nhiên có 8! Cách xếp.

Xếp ông và bà An vào 6 chỗ trong 8 chỗ sao cho không đứng đầu hoặc cuối có 6P2 cách xếp.

Xếp 6 đứa con và hàng có 6! Cách.

Nên số cách xếp để ông An hay bà An đứng đầu hoặc cuối là 8! -6! 6P2=18720 cách.

Câu 15: Từ một hộp chứa 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và2 viên bi vàng chọn ra 4 viên bi. Tính số cách chọn để trong 4 viên bi lấy ra số bi đỏ bằng số bi vàng (biết các bi cùng màu và phân biệt).

Giải:

Bấm để xem

Trường hợp 1: Chọn 2 bi vàng và 2 bi đỏ.

Chọn 2 vi vàng có 1 cách.

Chọn 2 bi đỏ có 3C2 cách.​

Nên có 3C2 cách.

Trường hợp 2: Chọn 1 bi vàng, 1 bi đỏ và 2 bi xanh.

Chọn 1 bi vàng có 2C1 cách.

Chọn 1 bi đỏ có 3C1 cách.

Chọn 2 bi xanh có 5C2 cách.​

Nên có 2C1.3C2.5C2 cách.

Từ hai trường hợp trên ta có 3C2+2C1.3C1.5C2=63 cách.

Câu 16: Có bao nhiêu cách trao 18 cuốn sách gồm 7 cuốn sách toán, 6 cuốn sách lý và 5 cuốn sách hóa (các cuốn sách cùng thể loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh, mà mỗi hoạch định nhân được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách).

Giải:

Bấm để xem

Gọi x, y, z lần lượt là các tổ hợp (toán, lý) (toán, hóa) (lý, hóa).

Có x+y+z=9

X+y=7

Y+z=5

X+z=6

Suy ra x=4, y=3, z=2.

Chọn 4 bạn tặng toán, lý có 9C4 cách.

Chọn 3 bạn tặng toán, hóa có 5C3 cách.

Chọn 2 bạn tặng lý, hóa có 2C2 cách.

Vậy có 9C4.5C3.2C2=1260 cách.

Câu 17: Có 7 nhà toán học nam, 4 nhà toán học nữ và 5 nhà vật lý nam. Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác gồm 3 người có cả nam và nữ đông thời có cả toán học và vật lý?

Giải:

Bấm để xem

Trường hợp 1: 1 nhà vật lý nam, 2 nhà toán học nữ có 5C1.4C2 cách.

Trường hợp 2: 1 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ có 5C1.7C1.4C1 cách.

Trường hợp 3: 2 nhà vật lý nam và 1 nhà toán học nữ có 5C2.4C1 cách.

Vậy có 5C1.4C2+5C1.7C1.4C1+5C2.4C1=210 cách.

Câu 18: Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhanh được ít nhất 1 đồ vật.

Giải:

Bấm để xem

Chia mỗi người một đồ vật có 4P3 cách.

Còn lại 1 đồ vật để chia cho 1 trong 3 người có 3 cách chọn.

Nên có 3.4P3=72 cách.

Câu 19: Có 15 học sinh gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

Giải:

Bấm để xem

Chọn ngẫu nhiên có 16C6 cách.

Nếu chỉ chọn khối 12 và khối 11 thì có 10C6 cách.

Nếu chỉ chọn khối 12 và khối 10 thì có 11C6 cách.

Nếu chỉ chọn khối 11 và khối 10 thì có 9C6 cách.

Nên số cách chọn ít nhất sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh là:

15C6- (10C6+11C6+9C6-6C6) =4250 cách chọn.

(trừ cho 6C6 là do trong các trường hợp thì mỗi khối đều xuất hiện 2 lần).

Câu 20: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận được sắp xếp là?

Giải:

Bấm để xem

Mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác.

Mỗi đội phải đá 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách nên có 10C2 cách.

Vậy có 4.10C2=180 cách chọn.

-Bài làm của minhnguyet-​

 

Câu 21: Số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu với 1, 2 được lập từ 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Giải:

Bấm để xem

Chọn ngẫu nhiên số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là 6! =720 số.

Số các số có 6 chữ số khác nhau bắt đầu bằng 1, 2 là có 4! =24 số.

Nên số các số có 6 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 1, 2 là 720-24=696 số.

Câu 22: Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số 0, 5 không đứng cạnh nhau?

Giải:

Bấm để xem

Số các số có sáu chữ số khác nhau: P6-P5=600 số.

Xếp 0 và 5 đứng cạnh nhau có 2! =2 cách.

Coi hai số 0 và 5 là một số xếp với bốn chữ số còn lại có 2! 5!

Các số 0 và 5 đứng cạnh nhau và số không đứng đầu có 4!

Nên các số mà 0 và 5 đứng cạnh nhau là 2! 5! -4! =216 số.

Vậy theo bài toán có 600-216=384 số.

Câu 23: Xếp sáu chữ số 1, 1, 2, 2, 3, 4 thành một hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách?

Giải:

Bấm để xem

Có 6! / (2! 2) =180 cách xếp sáu chữ số bất kì.

Xếp hai số 1 đứng cạnh nhau có 5! /2! =60 cách.

Xếp hai số 2 đứng cạnh nhau có 5! /2! =60 cách.

Xếp hai số 1, hai số 2 cạnh nhau có 4! =24 cách.

Nên số cách xếp hai số giống nhau không đứng cạnh nhau là: 180- (60+60-24) =84 cách.

Câu 24: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ?

Giải:

Bấm để xem

Gọi số cần tìm có dạng abc (có gạch trên).

<a khác 0, a khác b khác c, a+b+c lẻ>

Trường hợp 1: Cả 3 số đều lẻ thì có 5.4. 3=60 số.

Trường hợp 2: 2 số chẵn+ 1 số lẻ.

+ a lẻ, b chẵn, c chẵn: 5.5. 4=100 số

+ a chẵn, b lẻ, c chẵn: 4.5. 4=80 số

+ a chẵn, b chẵn, c lẻ: 4.5. 4=80 số

Vậy từ hai trường hợp trên có 60+100+80+80=320 số.

Câu 25: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng ba chữ số cuối 1 đơn vị?

Giải:

Bấm để xem

Gọi số cần tìm là a1a2a3a4a5a6 (có gạch trên)

<khác nhau, a6 lẻ, (a1+a2+a3) - (a4+a5+a6) =1>

Trường hợp 1: A6=1 nên (a1+a2+a3) - (a4+a5) =2

+ (a1, a2, a3) thuộc {2, 3, 6} và (a4, a5) thuộc {4, 5}

- > có 3! 2! Cách.

+ (a1, a2, a3) thuộc {2, 4, 5} và (a4, a5) thuộc {3, 6}

- > có 3! 2! Cách.​

Trường hợp 2: A6=3 nên (a1+a2+a3) - (a4+a5) =4.

+ (a1, a2, a3) thuộc {1, 4, 6} và (a4, a5) thuộc {2, 5}

- > có 3! 2! Cách.

+ (a1, a2, a3) thuộc {2, 4, 5} và (a4, a5) thuộc {2, 5}

- > có 3! 2! Cách.​

Trường hợp 3: A6=5 nên (a1+a2+a3) - (a4+a5) =6.

+ (a1, a2, a3) thuộc {1, 4, 6} và (a4, a5) thuộc {2, 3}

- > có 3! 2! Cách.

+ (a1, a2, a3) thuộc {2, 3, 6} và (a4, a5) thuộc {1, 4}

- > có 3! 2! Cách.​

Từ các trường hợp ta có 72 số cần tìm.

Câu 26: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9. Tính tổng tất cả các số thuộc tập S.

Giải:

Bấm để xem

Có 5! =120 số có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Chữ số 5 suất hiện ở hàng đơn vị là 4! =24 lần.

Chữ số 6 suất hiện ở hàng đơn vị là 4! =24 lần.

V. V

Chữ số 9 xuất hiện ở hàng đơn vị là 4! =24 lần.

- > tổng hàng đơn vị: 24. (5+6+7+8+9) =840.

- > tổng hàng chục: 840.10=8400.

- > tổng hàng trăm: 840.100=84000.

- > tổng hàng nghìn: 840.1000=840000.

- > tổng hàng chục nghìn: 840.10000=8400000.

Vậy tổng các số thuộc tập S là: 8400000+840000+84000+8400+840=9333240.

Câu 27: Cho 2 dãy ghế xếp như sau:

Dãy 1: Ghế số 1/Ghế số 2/Ghế số 3/Ghế số 4.

Dãy 2: Ghế số 1/Ghế số 2/Ghế số 3/Ghế số 4.

Tính số cách xếp 4 học sinh nam và 4 học sinh nữ sao cho nam và nữ không cùng số ghế.

Giải:

Bấm để xem

4 nam vào dãy 1 có 4! Cách

4 nữ vào dãy 2 có 4! Cách

Mỗi cặp nam nữ có hai cách đổi vị trí nên có 24 cách.

Vậy có 4! 4! 24 cách.

Nay làm 7 bài tập thui nè~

- Bài làm của minhnguyet-​

 

Câu 28: Sắp xếp 5 bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng. Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau?

Giải:

Bấm để xem

Xếp 5 bạn vào 5 ghế bất kì có 5! Cách.

Xếp An, Dũng cạnh nhau có 2! Cách.

Coi An và Dũng là một thì có 4! Cách xếp các bạn còn lại.

Nên có 5! -2! 4! =72 cách.

Câu 29: Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho nam nữ xen kẽ?

Giải:

Bấm để xem

Coi 9 vị trí xếp 9 học sinh là 1/2/3/4/5/6/7/8/9.

Xếp 5 nữ vào 5 vị trí 1, 3, 5, 7, 9 có 5! Cách xếp.

Xếp 4 nam vào các vị trí 2, 4, 6, 8 có 4! Cách xếp.

Nên có 5! 4! =2880 cách xếp.

Câu 30: Có bao nhiêu cách xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành 1 hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?

Giải:

Bấm để xem

Xếp 3 nam ở cạnh nhau có 3! Cách.

Có 2 cách xếp xen nữ vào giữa năm có 3! Cách xếp nữ.

Vậy có 2.3! 3! =73 cách.

Câu 31: Có tất cả bao nhiêu cách chia 10 người thành 2 nhóm, 1 nhóm 6 người, 1 nhóm 4 người?

Giải:

Bấm để xem

Chọn 6 người lập nhóm 1 có 10C6 cách.

Chọn 4 người lập nhóm 2 có 4C4 cách.

Vậy có 10C6.4C4=210 cách.

Câu 32: Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?

Giải:

Bấm để xem

Chọn 3 nam trong 10 nam có 10C3 cách.

Chọn 2 nữ trong 8 nữ có 8C2 cách.

Vậy có 10C3.8C2=3360 cách.

Câu 33: Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta tạo thành các đề thi. Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lí thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có thể tạo ra được bao nhiêu đề khác nhau?

Giải:

Bấm để xem

Trường hơp 1: 1 lí thuyết+2 bài tập thì có 4C1.6C2=60 cách.

Trường hợp 2: 2 lí thuyết+1 bài tập thì có 4C2.6C1=36 cách.

Vậy có 60+36=96 cách.

Câu 34: Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kì. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II.

Giải:

Bấm để xem

Trường hợp 1: Lấy 4 đèn loại I và 1 loại II thì có 5C4.7C1 cách.

Trường hợp 2: Lấy 3 loại I và 2 loại II thì có 5C3.7C2 cách.

Trường hợp 3: Lấy 5 loại I thì có 5C5 cách.

Vậy có 5C4.7C1+5C3.7C2+5C5= 246 cách chọn theo yêu cầu đề bài.

Câu 35: Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho có 1 người được 2 đồ vật và 2 người còn loại mỗi người được 3 đồ vật.

Giải:

Bấm để xem

Lấy 2 đồ vật trong 8 đồ vậy có 8C2 cách.

Lấy 3 đồ vật trong 6 đồ vật còn lại vào 6C3 cách.

Còn lại 3 đồ vật.

Chia 3 phần đồ vật đã chọn cho 3 người có 3! Cách chia.

Vậy có 8C2.6C3.3! =3360 cách chọn theo yêu cầu đề bài.

Câu 36: Bình A chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng. Bình an chứa 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng. Bình C chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Từ mỗi bình lấy ra 1 quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để cuối cùng được 3 quả cầu có màu giống nhau?

Tóm tắt:

A: 3x+4đ+5t

B: 4x+3đ+6t

C: 5x+5đ+2t

Giải:

Bấm để xem

Trường hợp 1: Lấy cầu xanh có 3C1.4C1.5C1 cách.

Trường hợp 2: Lấy cầu đỏ có 4C1.3C1.5C1 cách.

Trường hợp 3: Lấy cầu trắng có 5C1.6C1.2C1 cách.

Vậy có 3C1.4C1.5C1+4C1.3C1.5C1+5C1.6C1.2C1=180 cách chọn theo yêu cầu đề bài.

Hết bài rồi nè: >

- Bài làm của minhnguyet-​