Toán 12 là phần quan trọng nhất trong kì thi THPT quốc gia, nó chiếm phần lớn lượng câu hỏi trong một đề thi. Vì vậy Kiến guru muốn chia sẻ cho các bạn tổng hợp kiến thức toán lớp 12 chương 1, liên quan đến ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài viết tổng hợp lý thuyết toán 12 cơ bản, bên cạnh đó còn đưa ra những hướng tiếp cận giải các dạng toán khác nhau, thế nên các bạn có thể coi như là tài liệu ôn tập để chuẩn bị cho kì thi sắp tới. Mời các bạn cùng đọc và tham khảo nhé: I. Tổng hợp kiến thức toán 12: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số 1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P (x) Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P (x), hoặc giá trị của x làm biểu thức P (x) không xác định. Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P (x) trên từng khoảng của bảng xét dấu. 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trên tập xác định Bước 1. Tìm tập xác định D. Bước 2. Tính đạo hàm y' = f' (x). Bước 3. Tìm nghiệm của f' (x) hoặc những giá trị x làm cho f' (x) không xác định. Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận. 3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f (x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) cho trước. Cho hàm số y = f (x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D: - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b) - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b) Chú ý: Riêng hàm số thì: - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a; b) - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a; b) 4. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Ta có y' = 3ax2 + 2b x + c Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi B2 - 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là: Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: Hoặc sử dụng công thức: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là: 5. Hướng dẫn giải nhanh bài toán cực trị hàm trùng phương Cho hàm số: Y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C). (C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt Khi đó ba điểm cực trị là: Với Δ = b2 - 4ac Độ dài các đoạn thẳng: II. Tổng hợp kiến thức toán lớp 12: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên Bước 1. Tính đạo hàm f' (x). Bước 2. Tìm các nghiệm của f' (x) và các điểm f' (x) trên K. Bước 3. Lập bảng biến thiên của f (x) trên K. Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận 2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên a) Trường hợp 1: Tập K là đoạn [a; b] - Bước 1. Tính đạo hàm f' (x). - Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a; b] của phương trình f' (x) = 0 và tất cả các điểm α ∈ [a; b] làm cho f' (x) không xác định. - Bước 3. Tính f (a), f (b), f (xi), f (αi). - Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận B) Trường hợp 2: Tập K là khoảng (a; b) - Bước 1. Tính đạo hàm f' (x). - Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f' (x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f' (x) không xác định. - Bước 3. Tính - Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận * Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). III. Tổng hợp lý thuyết toán 12: Đường tiệm cận 1. Quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc tìm GH của tích f (x). G (x) Nếu và Thì được tính theo quy tắc cho trong bảng sau: 2. Quy tắc tìm giới hạn của thương (Dấu của g (x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ≠ x0) Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp: IV. Tổng hợp kiến thức toán 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1. Các bước giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bước 1. Tìm tất cả các tập xác định của hàm số đã cho - Bước 2. Tính đạo hàm y' = f' (x) ; - Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ; - Bước 4. Tính giới hạn và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có) ; - Bước 5. Lập bảng biến thiên; - Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có) ; - Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng) ; - Bước 8. Vẽ đồ thị. 2. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) - Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac < 0 3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) 4. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến (ab - bc ≠ 0) 5. Biến đổi đồ thị Cho 1 hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có: - Hàm số y = f (x) + a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị. - Hàm số y = f (x) - a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị. - Hàm số y = f (x + a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị. - Hàm số y = f (x - a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị. - Hàm số y = -f (x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Ox. - Hàm số y = f (-x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Oy. - Hàm số có đồ thị (C') bằng cách: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy. + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy. - Hàm số có đồ thị (C') bằng cách: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox. + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox. Trên đây là tổng hợp kiến thức toán lớp 12 chương 1 phần hàm số mà Kiến muốn chia sẻ đến các bạn, hi vọng thông qua bài viết ở trên, bạn có thể tổng hợp lại những kiến thức và đắp vào những lỗ hổng còn thiếu sót của bản thân. Chương này là 1 trong các chương quan trọng trong kì thi THPT quốc gia, vì vậy các bạn nhớ ôn tập thật kỹ để tự tin khi làm bài nhé. Ngoài ra các bạn cũng có thể tham khảo các bài viết khác trên trang của Kiến để có nhiều kiến thức bổ ích hơn. Kiến team
