Tiếng Anh Những định lý Newton về tứ giác ngoại tiếp đường tròn

NEWTON'S THEOREMS CONCERNING THE TANGENTIAL QUADRILATERAL

Xin chào các anh chị và các bạn,

Tứ giác ngoại tiếp đường tròn là một đề tài tương đối "kinh điển" trong Hình học sơ cấp. Một điều thú vị mà đã nhiều người biết đến, đó là có một số định lý cùng mang tên nhà bác học người Anh Ai-xắc Niu-tơn. Mộng Huyền xin một lần nữa giới thiệu chủ đề ấy, lần này cố gắng viết bằng tiếng Anh. Mọi người đều thấy rằng các định lý và lời chứng minh sau đây lẽ ra chỉ đáng chiếm vài dòng, nhưng do mục đích chủ yếu là ôn lại kiến thức tiếng Anh nên tôi viết bài rất đỗi "dài dòng văn tự", mong các anh chị và các bạn thông cảm.

Let ABCD a circumscribable convex quadrilateral other than a parallelogram. The inscribed circle touches its sides AB, BC, CD and AD at E, F, G, H respectively. There exist several properties referred to under the collective denomination of "Newton's Theorem".



The first (and probably the most recognized in comparison with its namesakes) theorem states that the incentre I of ABCD lies on the line connecting the midpoints of its diagonals. That line is known as the Newton line. The present theorem, which bears the same name, can readily be derived from the Anne's Theorem, whose original proof has unfortunately been relegated to obscurity. The French mathematician Léon Anne discovered that with a point L within a quadrilateral ABCD separating the latter into two pairs of opposite triangles, the two sums of areas of each pair, namely [LAB]+ [LCD]and [LAD]+ [LBC]are equal if and only if L is located on the Newton line of the quadrilateral.

Lemma. The incentre I divides the quadrilateral ABCD into two such pairs of opposite triangles of equal summed areas.

Proof. As AE and AH are both tangents to the circle (I) with E and H contact points, AE = AH. It can also be proved that DH = DG, CF = CG and BE = BF in the same manner. It follows that in the tangential quadrilateral ABCD, the combined lengths of opposite sides are identical, since AB + CD = (AE + BE) + (CG + GD) = (AH + DH) + (CF + BF) = AD + CB. This equity of lengths constitutes a theorem named after the French engineer Pitot. Notice the equidistance of the centre I of the inscribed circle with regard to the sides of the tangential quadrilateral, we see that the four triangles formed by I and the four vertices A, B, C and D are of the same heights constructed from the incentre. Thus, [IAB]+ [ICD]= [IAD]+ [IBC].

The incircle centre I qualifies the definition of the point denoted L above in the Anne's Theorem, and is therefore located on the Newton line.

* * *

Bản dịch tiếng Việt

Bấm để xem

Cho tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp một đường tròn (ABCD không phải hình bình hành). Đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh AB, BC, CD, AD lần lượt tại E, F, G, H. Có một số tính chất mang tên gọi chung là "Định lý Newton".

Định lý đầu tiên (và có lẽ được nhận biết nhiều hơn so với những định lý khác cùng tên) phát biểu rằng tâm đường tròn I nội tiếp ABCD nằm trên đường thẳng nối trung điểm hai đường chéo, gọi là đường thẳng Newton. Định lý cùng tên có thể được suy ra từ định lý Anne, không may là lời chứng minh gốc của định lý Anne đã thất lạc. Nhà toán học Pháp Léon Anne nhận thấy rằng: Với điểm L nằm trong tứ giác ABCD chia nó ra thành hai cặp tam giác đối diện, thì tổng diện tích của mỗi cặp tam giác này bằng nhau, nghĩa là [LAB]+ [LCD]= [LAD]+ [LBC]khi và chỉ khi L thuộc đường thẳng Newton của tứ giác ABCD.

Bổ đề. Tâm I đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD cũng chia tứ giác thành hai cặp tam giác có tổng diện tích bằng nhau.

Chứng minh. Vì AE và AH đều là tiếp tuyến của đường tròn (I) với E và H là hai tiếp điểm nên AE = AH. Tương tự, có thể chứng minh DH = DG, CF = CG và BE = BF. Vì thế trong tứ giác ngoại tiếp ABCD, tổng các cặp cạnh đối bằng nhau, do AB + CD = (AE + BE) + (CG + GD) = (AH + DH) + (CF + BF) = AD + CB. Sự tương đương độ dài này thể hiện một định lý được đặt theo tên kỹ sư người Pháp Pitot. Lưu ý rằng tâm đường tròn I cách đều bốn cạnh của tứ giác ngoại tiếp, ta có bốn tam giác tạo thành bởi I với bốn đỉnh A, B, C, D có cùng chiều cao dựng từ tâm I. Vì thế [IAB]+ [ICD]= [IAD]+ [IBC].

Tâm đường tròn nội tiếp I thỏa mãn định nghĩa điểm L trong định lý Anne, và vì thế nằm trên đường thẳng Newton.

* * *

Another Newton's Theorem observes the concurrency of four lines, the diagonals AC and BD, with the tangential chords EG and HF. This can be considered as a corollary of the Pascal's Theorem, or perhaps more straightforwardly, of its dual, the Brianchon's Theorem, which states that the principal diagonals of a circumscribed hexagon meet at a single point. Applying the Brianchon's Theorem to a hexagon AB'BCC'D, one can show that the three lines AC, B'C' and BD are concurrent. Should A, B' and B happen to be collinear, then the two tangents AB' and B'B to the incircle fuse into a single tangent AB, with B' becoming the contact point E. Similarly, the collinearity of C, C' and D converts CD into a tangent to the circle at C', or G. The original hexagon has degenerated into the tangential quadrilateral ABCD, but it obtains that AC, BD and B'C', the latter identical to EG, coincide. It can equally be proved that AC, BD and HF intersect at the same point.

The above degenerate case of the Brianchon's Theorem can be employed, among other techniques, in proving a variety of results, including the following, which is also named after Newton:

A bicentric quadrilateral is one that is both inscribable in and circumscribable about a circle. Show that for such a quadrilateral, the centers of the two associated circles are collinear with the point of intersection of the diagonals. (From the short-listed problems for the IMO in 1989, the second problem suggested by India)

A noteworthy characterization of a cyclic circumscribable quadrilateral is that its tangential chords are perpendicular.

The aforementioned Theorems may also have proved useful in another case:

The incircle ω of a quadrilateral ABCD touches AB, BC, CD, DA at E, F, G, H, respectively. Choose an arbitrary point X on the segment AC inside ω. The segments XB, XD meet ω at I, J, respectively. Prove that FJ, IG, AC are concurrent. (From the Team Selection Test of the Democratic People's Republic of Korea for the IMO of 2013) /.

* * *

Bản dịch tiếng Việt

Bấm để xem

Một định lý Newton khác cho thấy sự đồng quy của bốn đường thẳng gồm đôi đường chéo AC và BD với đôi dây cung tiếp điểm EG và HF. Có thể coi đây là hệ quả của định lý Pascal, hoặc rõ ràng hơn là của định lý đối ngẫu của nó, định lý Brianchon. Định lý Brianchon phát biểu rằng các đường chéo chính của một lục giác ngoại tiếp cắt nhau tại một điểm. Áp dụng định lý Brianchon cho một lục giác AB'BCC'D, có thể thấy ba đường thẳng AC, B'C' và BD đồng quy. Nếu A, B' và B thẳng hàng thì hai tiếp tuyến AB' và B'B của đường tròn nội tiếp hợp làm một tiếp tuyến duy nhất AB với B trở thành tiếp điểm E. Tương tự, sự thẳng hàng của C, C' và D biến CD thành tiếp tuyến đường tròn tại C', hoặc G. Lục giác ban đầu đã suy biến thành tứ giác ngoại tiếp ABCD, nhưng AC, BD và B'C' nay trùng với EG vẫn đồng quy. Chứng minh tương tự, ta được AC, BD và HF cùng cắt nhau tại một điểm.

Trường hợp suy biến trên đây của định lý Brianchon có thể được áp dụng cùng với các kỹ thuật khác để chứng minh một số kết quả, trong đó có bài toán sau, cũng được đặt theo tên của Newton:

Một tứ giác lưỡng tâm có thể vừa nội tiếp, vừa ngoại tiếp đường tròn. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp và giao điểm hai đường chéo của tứ giác thẳng hàng. (Trích danh sách rút gọn để chọn ra đề chính thức Kỳ thi Ôlimpích Toán quốc tế năm 1989, bài 2 do Ấn độ đề xướng)

Lưu ý một tính chất của tứ giác nội ngoại tiếp, đó là hai dây cung tiếp điểm vuông góc với nhau.

Những định lý trên đây cũng có thể có ích trong một trường hợp khác:

Đường tròn nội tiếp ω của tứ giác ABCD tiếp xúc các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt tại E, F, G, H. Chọn điểm X bất kỳ trên đoạn thẳng AC nằm trong ω. Hai đoạn XB, XC lần lượt cắt ω tại I và J. Chứng minh FJ, IG, AC đồng quy. (Trích đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của Triều Tiên thi Ôlimpích Toán quốc tế năm 2013) /.

* * *

Bibliography (Các tài liệu tham khảo)

1. Nguyễn Văn Linh, Định lý Brianchon, 2014. Consulted at Euclidean Geometry Blog

2. Nguyễn Danh Phương, Định lý Pascal. Consulted at THƯ VIỆN TOÁN - Tải tài liệu và đề thi miễn phí các môn THPT THCS

3. Adam P. Goucher, Mathematical Olympiad Dark Arts, 2012

4. Art of Problem Solving

5. Newton's Theorem and Leon Anne's Theorem

6. Paul Yiu, Advanced Euclidean Mathematics, 1992.

7. Martin Josefs, Characterizations of Bicentric Quadrilaterals, Forum Geometricorum Volume 10 (2010) 165–173.

8. Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic, The IMO Compendium - A Collection of Problems Suggested for The International Mathematical Olympiads: 1959-2009, Second Edition, Springer, 2011.

9. Department of Mathematics, the Hong Kong University of Science and Technology, Mathematical Excalibur,

Volume 10, Number 3, August - September 2005.

Volume 18, Number 3, November 2013.

10. Wikipedia pages: Newton's line, Newton's theorem, Anne's theorem, Pascal's theorem, Brianchon's theorem, Pitot theorem, Tangential quadrilateral.