Thập niên 20 của thế kỉ XX, một nhà toán học người Đức David Hilbert đã nghĩ ra một thí nghiệm nổi tiếng, cho thấy sự khó hiểu của khái niệm vô cực. Hãy hình dung một khách sạn có vô số phòng. Khách sạn đó rất nổi tiếng, luôn được đặt kín chỗ, phòng nào cũng có người. Nhưng khách sạn vô hạn luôn có phòng. Một buổi tối nọ, 1 người khách tìm đến một khách sạn nhỏ để hỏi thuê phòng. Tất cả các phòng đều đã đầy. Người quản lý đành lắc đầu: "Rất xin lỗi, mời ngài đi tìm chỗ khác vậy". Vị khách ấy đến khách sạn Vô hạn, "Cho tôi một phòng". Người quản lí nói "Vâng, dĩ nhiên khách sạn Vô hạn luôn có chỗ cho bạn, chỉ cần đợi một chút". Người quản lí nói với mọi người qua loa: "Xin hãy thu dọn tư trang, chuẩn bị chuyển sang phòng kế tiếp dọc hành lang". Người ở phòng 1 chuyển sang phòng 2, người ở phòng 2 chuyển sang phòng 3, người ở phòng n sang phòng n+1. Có thể bạn sẽ nghĩ rằng sẽ có rắc rối vì phòng nào cũng có người, nhưng vì là khách sạn Vô Hạn nên điểu này có thể xảy ra. Các con số không dừng lại. 1 có thể sang 2, 2 sang 3, một triệu sang một triệu lẻ một. Nên khi mọi người di chuyển sang phòng kế tiếp, nghĩa là phòng 1 giờ đã trống và có thể cho khách mới ở lại. Quy trình này được lặp đi lặp lại cho bất kì số khách có hạn nào. Một thách thức lớn hơn đối với người quản lí đến vào ngày hôm sau, khi thay vì chỉ một vị khách xuất hiện, bỗng cả một đoàn xe gồm rất nhiều người đồng loạt ấn chuông và nói: "Tôi muốn có phòng". Khách mới nhiều vô hạn và tất cả họ đều muốn ở lại khách sạn này. Hóa ra người quản lí đã từng thấy vấn đề này, cô ấy nói qua loa: "Mọi người hãy chuẩn bị để ít phút nữa chuyển sang phòng có số phòng gấp đôi số hiện tại". Nên người ở phòng 1 sẽ ở trong phòng 2, người ở phòng 2 giờ sẽ chuyển sang phòng 4, người ở phòng 3 sẽ đến phòng 6, người ở phòng n sẽ chuyển sang phòng 2n. Tất cả những vị khách mới đều có phòng. Bạn sẽ để ý thấy rằng tất cả các phòng số lẻ đã bị bỏ trống, và những vị khách mới có thể ở lại đó. Mọi người đều vui vẻ, và lợi nhuận của khách sạn tăng cao hơn bao giờ hết. Thực ra thì, lợi nhuận không thay đổi, bởi đêm nào khách sạn cũng thu về số tiền vô hạn. Mọi người bàn tán về khách sạn phi thường này. Họ đổ xô đến đây thuê phòng. Một đêm, điều không tưởng xảy đến. Người quản lý nhìn ra bên ngoài và thấy một hàng xe buýt lớn vô hạn, dài vô hạn. Mỗi xe có một số khách vô hạn. Làm gì bây giờ? Nếu không xếp được phòng cho tất cả bọn họ, khách sạn sẽ thất thoát một số tiền lớn vô hạn, chắc chắn, cô sẽ mất việc. May mắn thay, cô nhớ ra vào khoảng năm 300 TCN, Euclid đã chứng minh rằng số các số nguyên tố là vô tận. Người quản lý yêu cầu mỗi khách trong khách sạn tới phòng mới theo quy tắc như sau: "2 với số mũ là số phòng mà họ đang ở". Như vậy, người khách ở căn phòng số 1 sẽ chuyển sang phòng số 2, người ở phòng số 7 sẽ chuyển đến phòng số 2^7 = 128. Tiếp đến, người quản lý sử dụng số nguyên tố tiếp theo để xếp phòng cho khách trên chiếc xe buýt lớn vô hạn đầu tiên: Mỗi khách nhận phòng theo quy tắc "3 với số mũ là số ghế của họ trên xe buýt". Như vậy, khách ngồi ghế số 7 trên chiếc xe đầu tiên nhận phòng số 3^7=2187. Người quản lý tiếp tục dùng số 5 để xếp phòng cho khách trên xe thứ 2. Tương tự là số 7 với khách trên xe thứ ba. Tiếp tục với số 11, số 13, số 17.. Bởi vì mỗi số này chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, không có khách nào phải thuê chung phòng cả. Bởi vì số các số nguyên tố là vô hạn, nên toàn bộ khách trên vô hạn xe bus đều đã được giải quyết. Tất cả các khách xuống xe buýt, vào khách sạn, và tìm số phòng người quản lý đã xếp cho mình. Tuy nhiên, khách sạn sẽ có một số phòng trống, ví dụ như phòng số 6, bởi 6 không được tạo ra bởi luỹ thữa của một số nguyên tố nào cả. Một thông lệ khác ở khách sạn Vô Hạn là người quản lí này rất tận tâm, luôn kiểm tra các phòng, vô số phòng. May thay, quản lí rất nhanh nhẹn, nên có thể xong hết việc trong 1 phút. Cô ấy dành nửa phút để đảm bảo phòng 1 ổn cả, và 1/4 phút, 15 giây, ở phòng 2, rồi một nửa số đó, 7.5 giây, ở phòng 3, và cứ thế, đi dọc hết hành lang khách sạn Vô Hạn. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +.. ∞ = 1. Câu chuyện này đã nhắc nhở chúng ta rằng thật khó khăn khi dùng trí óc có hạn của mình để hiểu một khái niệm rộng lớn như vô cực.
