Một số bài tập toán hình không gian về mặt phẳng, đường thẳng. Quan hệ song song - Toán 11

MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN KHÔNG GIAN: ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG.

QUAN HỆ SONG SONG.​

Câu 1: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn SC lấy 1 điểm M không trùng với điểm S và C. Giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM) là?

Giải:



Xét SD ⊂ (SBD). Gọi K=AM ∩ SO

Có (SBD) ∩ (ABM) =BK

Gọi BK ∩ SD=N. ➜ N=SD ∩ (ABM).

Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD. Có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến của:

A, (SAB) và (SCD)

B, (SAD) và (SBC)

Giải:



A, Ta có: S là điểm chung của (SAB) và (SCD)

Có: AB ⊂ (SAB)

CD ⊂ (SCD)

AB // CD

➜ (SAB) ∩ (SCD) =Sx ➜ Sx //AB // CD.

B, Xét mặt phẳng (SAD) và (SBC) có:

AD ⊂ (SAD)

BC ⊂ (SBC)

AD // BC

S là điểm chung

➜ (SAD) ∩ (SBC) =Sy sao cho Sy // AD // BC.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD, có I, J là trung điểm của BC, BD. Mặt phẳng P: Qua IJ và cắt AC, AD tại M, N. Chứng minh rằng: Tứ giác IJNM là hình thang.

Giải:



(P) trùng (IJMN)

(IJMN) ∩ (BCD) =IJ

(IJMN) ∩ (ACD) =MN

(BCD) ∩ (ACD) =CD

Mà IJ là đường trung bình của Tam giác BCD nên IJ // CD.

➜IJ//MN//CD

➜tứ giác IJNM là hình thang.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. K thuộc BD sao cho KB=2KD.

Hãy xác định giao tuyến của (IJK) và (ABD)

Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJK). Xác định vị trí của K để thiết diện là hình bình hành.

Giải:



Xét mặt phẳng (IJK) và (ABD) có:

K là điểm chung

IJ ⊂ (IJK)

AB ⊂ (ABD)

IJ//AB (IJ là đường trung bình trong tam giác ABC)

➜ (IJK) ∩ (ABD) =Kx sao cho Kx//IJ//AB.

Gọi Kx ∩ AD=H

Có (IJK) ∩ (ABC) =IJ

(IJK) ∩ (BCD) =JK

(IJK) ∩ (ABD) =KH

(IJK) ∩ (ACD) =HI

➜ thiết diện của tứ diện cắt bởi (IJK) là hình thang IJKH (IJ//KH//AB)

Để thiết diện là hình bình hành thì IJ//KH và IJ=KH.

➜KH//AB và KH=1/2AB.

➜ KH là đường trung bình của Tam giác ABD.

➜ K là trung điểm của BD.

Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang (AB//CD). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC. G là trọng tâm Tam giác SAB.

A, Tìm giao tuyến của (IKG) và (SAB)

B, Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi (IKG)

C, Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện là hình bình hành.

Giải:



Xét mặt phẳng (IKG) và (SAB) có:

G là điểm chung

AB ⊂ (SAB)

IK ⊂ (IKG)

AB//IK (K là đường trung bình của hình thang ABCD)

➜ (IKG) ∩ (SAB) =Gx sao cho Gx//IK//AB

B, Gọi H=SB ∩ Gx, E=SA ∩ Gx

Có (IKG) ∩ (SAB) =GH

(IKG) ∩ (ABCD) =IK

(IKG) ∩ (SAD) =IE

(IKG) ∩ (SBC) =KH

➜ thiết diện là tứ giác IKHE.

C, Xét tứ giác IKHE có: IK//IH suy ta IKHE là hình thang.

Tứ giác IKHE là hình bình hành khi EH=IK (1)

Mà ta có: IK=1/2 (AB+CD). (2)

G là trọng tâm Tam giác SAB nên EH/AB=2/3

➜ EH=2/3AB. (3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta có: 1/2 (AB+CD) =2/3AB

➜3AB+3CD=4AB

➜AB=3CD.

Câu 6: Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AC lấy M, trên BF lấy N sao cho AM/AC=BN/BF=1/3.

Một mặt phẳng (a) qua MN và song song AB cắt AD tại M', AF tại N'.

A, Chứng minh rằng: M'N'//DF

B, Chứng minh rằng: MN//DE.

Giải:



A, (a) trùng MNN'M' //AB

(a) ∩ (ABCD) =M'M

(a) ∩ (ABEF) =N'N

(ABCD) ∩ (ABEF) =AB

Mà AB// (a)

➜MM'//NN'//AB.

Theo giả thiết:

AM/AC=1/3 ➜AM'/AD=1/3.

BN/BF=1/3 ➜AN'/AF=1/3.

➜ AM'/AD=AN'/AF=1/3.

➜MN'//DF (điều phải chứng minh)

B, Gọi I=DM ∩ AB.

Có AM/AC=1/3 ➜MM'/CD=1/3 ➜ MM'/AB=1/3 ➜ NM'=1/3AB.

Xét tam giác ADI có:

DM'/DA=MM'/AI=2/3 ➜MM'=2/3AI

➜AI=1/2AB suy ra I là trung điểm của AB.

Gọi I'=EN ∩ DA

Ta có: NN'/AB=IN'/FA=2/3 ➜ NN'=2/3AB

Gọi K=NN' ∩ BE.

➜EN/EI'=EK/EB=FN/FB=2/3

➜NK=2/3IB

Mà NK=1/3EF ➜I'B=1/2AB (AB=EF)

➜ I trùng I'.

Xét tam giác IDE có IN/IE=1/3; IM/ID=1/3.

➜IB/IE=IM/ID

➜MN//ED.

-Bài làm của minhnguyet-​

 

Dùng phần mềm LaTex vẽ hình có được k bạn ơi

 

Xin lỗi vì giờ mới thấy, mình chưa từng dùng phần mềm này nên không biết ạ