Có một bài toán rất đơn giản mà rất khó: Mời các bạn giải hoặc tìm ra điểm bất hợp lý của bài toán? Bài toán đó là: Có một hình vuông ABCD. Từ 2 đỉnh A và B của hình vuông vào trong hình vuông, ta vẽ một tam giác AKB sao cho góc KAB bằng góc KBA và bằng 150. Các bạn hãy chứng minh rằng tam giác DKC là tam giác đều? A B K D C (Các bạn vẽ ra giấy vở rồi giải cho đơn giản, dễ dàng hơn)
TH1: Góc KAB = góc KBA = 150 độ -> tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ, nếu 2 góc của đề bài cho đều bằng 150 độ thì tổng góc đã là hơn 300 độ => không thể xảy ra. Nói cách khác là không vẽ được điểm K thỏa mãn yêu cầu đề bài. TH2: Tổng 2 góc KAB + KBA = 150 độ, tương đương mỗi góc bằng 75 độ. K nằm trong hình vuông => tam giác BKC tạo thành phải là tam giác nhọn do mỗi góc nhỏ hơn 90 độ. Từ điểm K kẻ KY vuông góc với CD, Y thuộc CD. Kẻ KX vuông góc với AB, X thuộc AB. Góc KBX = KBA = 75 độ => BKX = 15 độ Giả sử tam giác KCD là tam giác đều. => góc YKC = 15 độ. Ta có YKC + CKB + BKX = YKX = 180 15 + CKB + 15 = 180 -> CKB = 150 độ -> tam giác BKC là tam giác tù. Mâu thuẫn với khẳng định BKC là tam giác nhọn bên trên. Suy ra KCD không thể là tam giác đều vì không có điểm K thỏa mãn yêu cầu đề bài (K nằm trong hình vuông) Còn 1 vài cách lý giải khác nữa
Có thể đi ngược lại bằng cách: 1. Từ điểm D hoặc C vẽ một cung tròn tâm D (C) bán kính là cạnh hình vuông, cung tròn này cắt đường trung trực của CD tại điểm K. Điểm K này chắc chắn nằm phía bên trong hình vuông. Vì K nằm trên đường trung trực của CD nên KD=KC=CD, và tam giác KCD là tam giác đều. 2. Tính toán ngược lại các góc: KCD=KDC=DKC=60 ADK=BCK=90-60=30 Hai tam giác ADK & BCK cân tại D & C cho nên góc DAK=AKD=CKB=KBC= (180-30) /2=75 Vậy góc KAB=KBA=90-75=15 * * * Bài toán thuận Cạnh hình vuông là a. Ta có thể thấy KAB=KBA=15 tức tam giác KAB cân tại K. Vậy điểm K sẽ nằm trên đường trung trực của AB. Góc DAK=CBK=90-15=75 K cũng nằm trên đường trung trực của CD. Vậy tam giác KCD cân tại K. Dễ dàng CM được 2 tam giác bằng nhau là KAD & KCB. Gọi góc AKD=BKC=x và góc ADK=BCK=y ta có: X+y+75=180 hay x+y=105 (hai tam giác bằng nhau là KAD & KCB) Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm CD. Ta có KM+KN= (a/2) tg15+ (a/2) tg (90-y) =a Hay tg15+tg (90-y) =2 hay 90-y=60 Ta được y=30 và x=75 Tam giác CDK cân tại K có hai góc KCD & KDC bằng 60 là tam giác đều.
