Giải bài tập Quy hoạch tuyến tính - Bài toán lập mô hình

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH: LẬP MÔ HÌNH TỐI ƯU​

Bài 1. Một xí nghiệp sản xuất ra hai loại sản phẩm: SP1, SP2 bằng các loại nguyên liệu sản xuất N1, N2, N3. Biết số lượng các nguyên liệu xí nghiệp hiện có lần lượt là 2 tấn, 3 tấn và 9 tấn. Tiền lời thu được khi bán SP1, SP2 lần lượt là 3 và 5 triệu đồng/tấn.

Tỷ lệ pha chế các loại nguyên liệu để sản xuất ra các loại sản phẩm được cho trong bảng sau: Link (vì mình tải bảng lên nhưng không được nên các bạn chịu khó bấm vào link để xem bảng nhé)

Hãy lập mô hình bài toán tìm kế hoạch sản xuất tối ưu và tìm phương án tối ưu.

Bài giải: Gọi x1, x2 (tấn) lần lượt là số sản phẩm SP1, SP2 cần sản xuất sao cho thỏa mãn các yêu cầu của bài toán.

* Điều kiện cho ẩn: X1 ≥ 0 x2 ≥ 0, xi ᶓ N

* Điều kiện về tổng khối lượng nguyên liệu dự định dùng để sản xuất là:

N1: X1 ≤ 2

N2: X2 ≤ 3

N3: 3x1 + 2x2 ≤ 9​

* Tổng tiền lời thu được là: Z = 3x1 + 5x2 → max

Vậy ta có mô hình toán học của bài toán như sau:

max z = 3x1 + 5x2

X1 ≤ 2

X2 ≤ 3

3x1 + 2x2 ≤ 9

X1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; xi ᶓ N​

Bài 2. Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện và 150 giờ máy mài để chế tạo 3 sản phẩm A, B và C. Để chế tạo sản phẩm A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy tiện và 3 giờ máy mài. Sản phẩm B cần 3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện. Sản phẩm C cần 5 giờ máy cán, 3 giờ máy tiện và 2 giờ máy mài.

Mỗi sản phẩm A giá 50 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B giá 20 ngàn đồng, mỗi sản phẩm C giá 30 ngàn đồng.

Hãy lập mô hình bài toán xí nghiệp cần chế tạo mỗi loại bao nhiêu sản phẩm để có tổng giá trị sản phẩm là lớn nhất.

Bài giải: Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số đơn vị sản phẩm loại A, B, C

* Điều kiện cho ẩn: Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, xi ᶓ N

* Điều kiện về tổng số giờ sử dụng thiết bị để chế tạo sản phẩm A, B, C là:

9x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 510

5x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 360

3x1 + 2x3 ≤ 150

* Tổng doanh thu thu được là: Z = 50x1 + 20x2 + 30x3 → max

Vậy ta có mô hình toán học của bài toán như sau:

Max z = 50x1 + 20x2 + 30x3

9x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 510

5x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 360

3x1 + 2x3 ≤ 150

Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, xi ᶓ N

Bài 3. Một công ty có kế hoạch quảng cáo một loại sản phẩm do công ty sản xuất trong thời gian 1 tháng với tổng chi phí là 100 triệu đồng.

Các phương tiện được chọn để làm quảng cáo là truyền hình, báo và phát thanh với số liệu dự kiến như sau: Link

(vì mình tải bảng lên nhưng không được nên các bạn chịu khó bấm vào link để xem bảng nhé)

Vì lý do chiến lược tiếp thị nên công ty yêu cầu phải có ít nhất 30 lần quảng cáo trên truyền hình trong tháng. Hãy lập mô hình bài toán sao cho phương án quảng cáo sản phẩm công ty là tối ưu.

Bài giải: Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số lần quảng cáo trên truyền hình, báo, phát thanh trong tháng.

* Điều kiện ẩn: Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, xi ᶓ N

* Điều kiện về tổng chi phí là: 1, 5x1 + 1x2 + 0, 5x3 ≤ 100

* Điều kiện về số lần quảng cáo:

Truyền hình: 30 ≤ x1 ≤ 60

Báo: X2 ≤ 26

Phát thanh: X3 ≤ 90

* Tổng số tiếp nhận quảng cáo: Z = 15x1 + 30x2 + 9x3 → max

Vậy ta có mô hình toán học của bài toán như sau:

Max z = 15x1 + 30x2 + 9x3

1, 5x1 + 1x2 + 0, 5x3 ≤ 100

30 ≤ x1 ≤ 60

X2 ≤ 26

X3 ≤ 90

Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, xi ᶓ N

Bài 4. Một xí nghiệp sản xuất ra 3 loại sản phẩm A, B, C với các số liệu như sau: Link

Biết rằng xí nghiệp hiện có số vốn dùng cho sản xuất là 3 triệu đồng. Quỹ thời gian sản xuất là 180 giờ. Theo các hợp đồng đã kí với khách hàng, yêu cầu sản phẩm A phải có lượng sản xuất ít nhất là 100 đơn vị. Giả sử mọi sản phẩm xuất ra đều tiêu thụ được hết.

Tìm kế hoạch sản xuất sao cho tổng lợi nhuận là lớn nhất.

Biết rằng tổng lợi nhuận = giá bán – chi phí sản xuất.

Bài giải: Gọi x1, x2, x3 (đvsp) lần lượt là lượng sản phẩm loại A, B, C cần sản xuất.

* Điều kiện ẩn: Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, xi ᶓ N

* Điều kiện về quỹ thời gian: X1 + 2x2 + 3x3 ≤ 180

* Điều kiện về tổng chi phí sản xuất: 20x1 + 30x2 + 40x3 ≤ 3000

* Điều kiện về số đơn vị sản phẩm loại A: X1 ≥ 100

* Tổng lợi nhuận thu được: Z = 32x1 + 50x2 + 58x3 - 20x1 - 30x2 - 40x3

= 12x1 + 20x2 + 18x3 → max

Vậy ta có mô hình toán học của bài toán như sau:

Max z = 12x1 + 20x2 + 18x3

X1 + 2x2 + 3x3 ≤ 180

20x1 + 30x2 + 40x3 ≤ 3000

X1 ≥ 100

Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, xi ᶓ N

Bài 5. Một công ty có kế hoạch quảng cáo sản phẩm mới do công ty sản xuất. Các phương tiện được chọn để quảng cáo sản phẩm là: Truyền hình, phát thanh và báo. Ba thị trường Hà Nôi, Thành Phố Hồ Chí Minh và Đà Nẵng được chọn là các thị trường trong điểm để thực hiện chiến lược quảng cáo. Biết rằng 1 lần quảng cáo trên truyền hình tốn 20 triệu, trên phát thanh tốn 10 triệu và trên báo chí tốn 10 triệu. Theo kết quả khảo sát thực tế cho thấy rằng:

1. Tại Hà Nội: Cứ mỗi lần quảng cáo trên truyền hình, phát thanh và báo thì số lượt người xem chiếm lần lượt như sau: 2.000 người, 1.000 người và 1.000 người.

2. Tại TPHCM: Số lượng người xem quảng cáo trên truyền hình, phát thanh và báo lần lượt là: 3.000 người, 1.000 người và 1.000 người.

3. Tại Đà Nẵng: Số lượng người nghe phát thanh hầu như không có và số lượt người xem quảng cáo trên truyền hình, báo lần lượt là: 2.000 người, 1.000 người.

Đề sản phẩm được tung ra thị trường thành công thì công ty ước tính số lượng người tối thiểu biết về sản phẩm tại thị trường Hà Nội, TPHCM, Đà Nẵng lần lượt là 7.000 ; 8.000 ; và 5.000 người.

Hãy lập mô hình bài toán sao cho phương án quảng cáo sản phẩm của công ty là tối ưu.

Bài 6. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B từ ba loại nguyên liệu C, D và E với số lượng dự trữ lần lượt là 100, 82 và 120 đơn vị. Để sản xuất ra mỗi đơn vị sản phẩm loại A cần sử dụng 4 đơn vị nguyên liệu C, 4 đơn vị nguyên liệu D và 6 đơn vị nguyên liệu E. Các chỉ số đó cho mỗi đơn vị sản phẩm B theo thứ tự trên là 6, 3 và 4. Ta có bảng sau: Link

Do điều kiện thực tế, xí nghiệp phải bắt buộc sử dụng hết 120 đơn vị nguyên liệu loại E hiện có. Cho biết lợi nhuận thu được trên mỗi sản phẩm loại A và loại B lần lượt là 4 triệu đồng và 6 triệu đồng.

Hãy thiết lập kế hoạch sản xuất sản phẩm nhằm đạt tổng lợi nhuận tối đa và tìm phương án sản xuất tối ưu.

Bài 7. Ta cần vận chuyển máy tính từ 2 công ty C1, C2 đến 3 nơi tiêu thụ T1, T2, T3. Biết số lượng máy tính ở mỗi công ty cần chuyển, nhu cầu máy tính tại các nơi tiêu thụ cũng nư cước phí vận chuyển cho mỗi máy tính được chuyển từ công ty đến nơi tiêu thụ được cho bởi bảng sau: Link

Hãy lập kế hoạch vận chuyển thỏa:

- Các công ty phải phân phối hết số máy tính hiện có.

- Các nơi tiêu thụ nhận đủ máy tính theo yêu cầu.

- Tổng cước phí vận chuyển là thấp nhất.

Bài 8. Để chuẩn bị 35 năm giải phóng thành phố, UBND cho phép tổ chức đêm lễ hội. Để chuẩn bị đêm lể hội ban tổ chức cần cung cấp 1 số thiết bị từ 3 cơ sở A1, A2, A3 đến 4 địa điểm tổ chức lễ hội B1, B2, B3, B4.

Với lượng thiết bị có tại các cơ sở này lần lượt là 500, 150, 350.

Với nhu cầu thiết bị tại các nơi tổ chức lễ hội tương ứng là 100, 200, 300, 400. Đơn giá cước phí vận chuyển từ cơ sở Ai (i=1.. 3) (đến nơi tổ chức lễ hội Bj (j=1.. 4) lần lượt theo bảng sau: Link

Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho tổng chi phí vận chuyển là bé nhất.

* Các bài 5, 6, 7, 8 mình sẽ để lời giải bên dưới nhé. Cảm ơn các bạn!

 

Giải bài 5:

Bạn cần ủng hộ tác giả 500 xu để đọc nội dung

 

Giải bài 6:

Bạn cần ủng hộ tác giả 500 xu để đọc nội dung

 

Giải bài 7:

Bạn cần ủng hộ tác giả 500 xu để đọc nội dung

 

Giải bài 8:

Bạn cần ủng hộ tác giả 500 xu để đọc nội dung