Hướng Dẫn giải toán 12 sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

hoabanglang404 · 30 Tháng chín 2021

Bài 1: Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

1. Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K <=> ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f (x1) < f (x2).

Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K <=> ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f (x1) > f (x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f đồng biến trên K thì f' (x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

- Nếu f nghịch biến trên K thì f' (x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f' (x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f' (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc k thì f đồng biến trên K.

- Nếu f' (x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f' (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.

- Nếu f' (x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

A) Tìm tập xác định

B) Tính đạo hàm f' (x). Tìm các điểm xi (i= 1, 2, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

C) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

D) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập

Câu 1 trang 9 (SGK) : Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số

A) y=4+3x−x^2

B) y=1/3x^3+3x^2-7x-2

C) y = x^4 - 2x^2 + 3

D) y = -x^3 + x^2 – 5

Hướng dẫn giải:

A) y = 4 + 3x – x^2

TXĐ: D=R

Y'=3-2x => y'=0

<=> 3-2x=0 => x=3/2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số ĐB trong khoảng (-∞; 3/2), NB trong khoảng (3/2 ; + ∞).

b) y=1/3x^3+3x^2-7x-2

TXĐ: D=R

Y' = x^2 + 6x - 7

Y' = 0 <=> x = -7, x=1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số ĐB trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞), NB trong khoảng (-7; 1).

c) y = x^4 - 2x^2 + 3

TXĐ :D = R

Y'= 4x^3 – 4x

Y' = 0 <=> 4x^3 – 4x = 0 <=> 4x (x – 1) (x + 1) = 0 <=> x=0, x=1;-1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số NB trong các khoảng (-∞ ; -1) và (0 ; 1) ; ĐB trong các khoảng (-1 ; 0) và (1; +∞).

d) y = -x^3 + x^2 – 5

TXĐ :D = R

Y'= -3x^2 + 2x

Y' = 0 <=> -3x^2 + 2x = 0 <=> x (-3x + 2) =0

<=>x=0, x=2/3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số NB trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞), ĐB trong khoảng (0 ; 2/3).

Câu 2 trang 10 (SGK) : Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số.

Hướng dẫn giải

A) TXĐ :D = R \ {1}

Y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số ĐB trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).

b) TXĐ :D = R \ {1}

Y' < 0 với ∀ x ∈ D (vì –x2 + 2x – 2 < 0).

Y' KXĐ tại x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số NB trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞)

C) TXĐ :D = (-∞ ; -4] ∪ [5; +∞)

Y' KXĐ tại x = -4 và x = 5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số NB trong khoảng (-∞; -4) ; ĐB trong khoảng (5; +∞).

d) TXĐ :D = R \ {±3}

Vì x2 ≥ 0 ∀ x => x2 + 9 > 0 ∀ x <=> -2 (x2 + 9) < 0

Mà (x2-9) 2 > 0 ∀ x ∈ D

=>: Y' < 0 với ∀ x ∈ D.

Y' KXĐ tại x = ±3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số NB trong các khoảng (-∞ ; -3) ; (-3; 3) và (3; +∞).

Câu 3 trang 10 (SGK) : Chứng minh rằng hàm số

đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Hướng dẫn giải

TXĐ :D = R

*Hàm số nghịch biến

<=> y' < 0

<=> 1 – x2 < 0

<=> x2 > 1

<=> x ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1; +∞).

*Hàm số đồng biến

<=> y' > 0

<=> 1 – x2 > 0

<=> x2 < 1

<=> x ∈ (-1; 1).

Vậy hàm số ĐB trên khoảng (-1; 1) và NB trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Câu 4 trang 10 (SGK) : Chứng minh rằng hàm số

đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Hướng dẫn giải

TXĐ :D = [0; 2]

*Hàm số đồng biến

<=> y' > 0

<=> 0 < x < 1.

* Hàm số nghịch biến

<=> y' < 0

<=>1 < x < 2.

Vậy hàm số ĐB trên khoảng (0; 1), NB trên khoảng (1; 2).

Câu 5 trang 10 (SGK) :

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y = f (x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)

Ta có: Y' =

> 0 với ∀ x ∈ R.

<=> HS ĐB trên khoảng (0; π/2)

=> f (x) > f (0) = 0 với ∀ x > 0

Tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2)

<=> tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2).

b) Xét hàm số y = g (x) = tanx - x - x^3/3 trên (0;π/2)

Theo kết quả câu a) : Tanx > x ∀ x ∈ (0;π/2)

⇒ g' (x) > 0 ∀ x ∈ (0;π/2)

⇒ y = g' (x) đồng biến trên (0;π/2)

⇒ g (x) > g (0) = 0 với ∀ x ∈ (0;π/2)